Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usg2wlkonot Unicode version

Theorem usg2wlkonot 28080
 Description: A walk of length 2 between two vertices as ordered triple in an undirected simple graph. This theorem would also hold for undirected multigraphs, but to proof this the cases and/or must be considered separately. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2wlkonot USGrph 2WalksOnOt

Proof of Theorem usg2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 21324 . . 3 USGrph
2 el2wlkonotot 28070 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
32expcom 425 . . . . 5 2WalksOnOt Walks
433adant2 976 . . . 4 2WalksOnOt Walks
54impcom 420 . . 3 2WalksOnOt Walks
61, 5sylan 458 . 2 USGrph 2WalksOnOt Walks
7 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12
8 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12
97, 8pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11
10 is2wlk 21518 . . . . . . . . . . 11 Walks ..^
111, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . . . 10 USGrph Walks ..^
12 preq12 3845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13123adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 preq12 3845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16153adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14
1918bicomd 193 . . . . . . . . . . . . 13
20193anbi3d 1260 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
21 usgrafun 21331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
22 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2322prid1 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
24 fzo0to2pr 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
2523, 24eleqtrri 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
26 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
2725, 26mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
28 fvelrn 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2927, 28sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
30 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3129, 30syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
32 1ex 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3332prid2 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3433, 24eleqtrri 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
35 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
3634, 35mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
37 fvelrn 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3836, 37sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
39 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4038, 39syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
4131, 40anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4221, 41sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ..^
4342a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph ..^
4443expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ USGrph
4544com24 83 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ USGrph
4645a1d 23 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ USGrph
47463imp 1147 . . . . . . . . . . . 12 ..^ USGrph
4820, 47syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11 ..^ USGrph
4948com14 84 . . . . . . . . . 10 USGrph ..^
5011, 49sylbid 207 . . . . . . . . 9 USGrph Walks
5150com14 84 . . . . . . . 8 Walks USGrph
5251exp3acom3r 1376 . . . . . . 7 Walks USGrph
53523imp 1147 . . . . . 6 Walks USGrph
5453com13 76 . . . . 5 USGrph Walks
5554imp 419 . . . 4 USGrph Walks
5655exlimdvv 1644 . . 3 USGrph Walks
57 usg2wlk 28049 . . . . 5 USGrph Walks
58573expib 1156 . . . 4 USGrph Walks
5958adantr 452 . . 3 USGrph Walks
6056, 59impbid 184 . 2 USGrph Walks
616, 60bitrd 245 1 USGrph 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916  cpr 3775  cotp 3778   class class class wbr 4172   cdm 4837   crn 4838   wfun 5407  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  c1 8947  c2 10005  cfz 10999  ..^cfzo 11090  chash 11573   USGrph cusg 21318   Walks cwalk 21459   2WalksOnOt c2wlkonot 28052 This theorem is referenced by:  usg2spthonot  28085  usg2spthonot0  28086  frg2woteu  28158  frg2woteqm  28162 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-usgra 21320  df-wlk 21469  df-wlkon 21475  df-2wlkonot 28055
 Copyright terms: Public domain W3C validator