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Theorem unoplin 22330
Description: A unitary operator is linear. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
unoplin  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem unoplin
StepHypRef Expression
1 unopf1o 22326 . . 3  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
-1-1-onto-> ~H )
2 f1of 5329 . . 3  |-  ( T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T : ~H
--> ~H )
4 simplll 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  UniOp )
5 hvmulcl 21423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
6 hvaddcl 21422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
75, 6sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
87adantll 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
98adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
10 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
11 unopadj 22329 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( `' T `  w ) ) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( `' T `  w )
) )
13 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1413ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
15 simprr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1615ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
17 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
18 cnvunop 22328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T  e.  UniOp )
19 unopf1o 22326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H -1-1-onto-> ~H )
20 f1of 5329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' T : ~H -1-1-onto-> ~H  ->  `' T : ~H --> ~H )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  UniOp  ->  `' T : ~H --> ~H )
22 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' T : ~H --> ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2321, 22sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2423adantlr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
2524adantllr 702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( `' T `  w )  e.  ~H )
26 hiassdi 21500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( `' T `  w )  e.  ~H ) )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( `' T `  w )
)  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
2714, 16, 17, 25, 26syl22anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( `' T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
28 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
293, 28sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
3029adantrl 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
3130ad2antrr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
32 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
333, 32sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
3433adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
3534adantllr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
36 hiassdi 21500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
3714, 31, 35, 10, 36syl22anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
38 unopadj 22329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )
39383expa 1156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4039oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) ) )
4140adantlrl 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( `' T `  w )
) ) )
4241adantlr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( `' T `  w ) ) ) )
43 unopadj 22329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
44433expa 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4544adantllr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )
4642, 45oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( `' T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) ) )
4737, 46eqtr2d 2286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( `' T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( `' T `  w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4812, 27, 473eqtrd 2289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4948ralrimiva 2588 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
50 ffvelrn 5515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
517, 50sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
5251anassrs 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
53 hvmulcl 21423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5428, 53sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5554an12s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5655adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5732adantlr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
58 hvaddcl 21422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5956, 57, 58syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
60 hial2eq 21515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
6152, 59, 60syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
623, 61sylanl1 634 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
6349, 62mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  UniOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6463ralrimiva 2588 . . 3  |-  ( ( T  e.  UniOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6564ralrimivva 2597 . 2  |-  ( T  e.  UniOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
66 ellnop 22268 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
673, 65, 66sylanbrc 648 1  |-  ( T  e.  UniOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   `'ccnv 4579   -->wf 4588   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615    + caddc 8620    x. cmul 8622   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331    .ih csp 21332   LinOpclo 21357   UniOpcuo 21359
This theorem is referenced by:  unopadj2  22348  idlnop  22402  elunop2  22423  nmopun  22424  unopbd  22425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-hvsub 21381  df-lnop 22251  df-unop 22253
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