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Theorem uniun 3746
Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
uniun  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )

Proof of Theorem uniun
StepHypRef Expression
1 19.43 1604 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
2 elun 3226 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32anbi2i 678 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
4 andi 842 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 3730 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 3730 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8orbi12i 509 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93bitr4i 270 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
11 eluni 3730 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
12 elun 3226 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  u.  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123bitr4i 270 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( U. A  u.  U. B ) )
1413eqriv 2250 1  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    u. cun 3076   U.cuni 3727
This theorem is referenced by:  unidif0  4077  unisuc  4361  onuninsuci  4522  fvssunirn  5404  fvun  5441  tc2  7311  fin1a2lem10  7919  fin1a2lem12  7921  dprd2da  15112  dmdprdsplit2lem  15115  ordtuni  16752  cmpcld  16961  uncmp  16962  1stckgenlem  17080  filcon  17410  ufildr  17458  alexsubALTlem3  17575  cldsubg  17625  icccmplem2  18160  uniioombllem3  18772  cvmscld  22975  trunitr  24274  refssfne  25460  topjoin  25480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-v 2729  df-un 3083  df-uni 3728
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