MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn Unicode version

Theorem unbnn 6998
Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnn3 7243 for a stronger version without the first assumption. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unbnn  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem unbnn
StepHypRef Expression
1 ssdomg 6793 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
21imp 420 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  ~<_  om )
323adant3 980 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~<_  om )
4 simp1 960 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  e.  _V )
5 ssexg 4057 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  om  /\  om  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
65ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om )  ->  A  e.  _V )
763adant3 980 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  e.  _V )
8 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om )
98unblem4 6997 . . . 4  |-  ( ( A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
1093adant1 978 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)
11 f1dom2g 6765 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  |^| ( A  \  suc  z ) ) , 
|^| A )  |`  om ) : om -1-1-> A
)  ->  om  ~<_  A )
124, 7, 10, 11syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  om  ~<_  A )
13 sbth 6866 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  om )
143, 12, 13syl2anc 645 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  A  x  e.  y )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    \ cdif 3075    C_ wss 3078   |^|cint 3760   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   suc csuc 4287   omcom 4547    |` cres 4582   -1-1->wf1 4589   reccrdg 6308    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  unbnn2  6999  isfinite2  7000  unbnn3  7243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-en 6750  df-dom 6751
  Copyright terms: Public domain W3C validator