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Theorem ubmelm1fzo 27987
Description: If an integer between 0 and an upper bound of a half open interval of integers minus 1 is subtracted from this upper bound, the result is contained in this half open interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo1 11128 . 2  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2 elnnnn0b 10220 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  0  < 
K ) )
3 nn0z 10260 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
4 nnz 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
5 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
65ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
8 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  +  1 )  <_  N ) )
9 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
10 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
129, 11addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  =  ( 1  +  K ) )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  +  1 )  =  ( 1  +  K ) )
1413breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  + 
1 )  <_  N  <->  ( 1  +  K )  <_  N ) )
158, 14bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( 1  +  K )  <_  N ) )
1615biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  ( 1  +  K
)  <_  N )
)
1716com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  <  N  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  K )  <_  N
) )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  <  N  /\  0  <  K )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  +  K )  <_  N ) )
1918impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  (
1  +  K )  <_  N )
20 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
22 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
24 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
26 leaddsub 9460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 1  +  K
)  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  K ) ) )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  K )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  K ) ) )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  (
( 1  +  K
)  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  K ) ) )
2919, 28mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  1  <_  ( N  -  K
) )
30 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
3130eluz1i 10451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( ( N  -  K )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( N  -  K
) ) )
327, 29, 31sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3310addid1i 9209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  0 )  =  1
3433fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  0 ) )  =  (
ZZ>= `  1 )
3532, 34syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  0 ) ) )
3630a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ )
37 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
3836, 37zaddcld 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  +  N )  e.  ZZ )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  N
)  e.  ZZ )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  (
1  +  N )  e.  ZZ )
41 ltsubpos 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N ) )
4222, 24, 41syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N ) )
43 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( N  -  K
)  e.  RR )
4424, 22, 43syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K
)  e.  RR )
45 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  ->  ( N  -  K
)  <_  N )
)
4644, 25, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  ->  ( N  -  K
)  <_  N )
)
47 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <_  N  <->  ( N  -  K )  <  ( N  + 
1 ) ) )
486, 47sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <_  N  <->  ( N  -  K )  <  ( N  + 
1 ) ) )
49 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
5149, 50addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  +  1 )  =  ( 1  +  N ) )
5352breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( N  -  K
)  <  ( 1  +  N ) ) )
5453biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  ( N  +  1 )  ->  ( N  -  K )  <  (
1  +  N ) ) )
5548, 54sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <_  N  ->  ( N  -  K
)  <  ( 1  +  N ) ) )
5646, 55syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  N  ->  ( N  -  K
)  <  ( 1  +  N ) ) )
5742, 56sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  K  ->  ( N  -  K
)  <  ( 1  +  N ) ) )
5857com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  K  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K )  <  (
1  +  N ) ) )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  <  N  /\  0  <  K )  -> 
( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  K )  <  ( 1  +  N
) ) )
6059impcom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  ( N  -  K )  <  ( 1  +  N
) )
61 elfzo2 11098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( ( 1  +  0 )..^ ( 1  +  N ) )  <->  ( ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  0 ) )  /\  ( 1  +  N )  e.  ZZ  /\  ( N  -  K
)  <  ( 1  +  N ) ) )
6235, 40, 60, 61syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ( 1  +  0 )..^ ( 1  +  N ) ) )
6330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
64 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
66 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6763, 65, 663jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
6867adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  (
1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
69 fzosubel2 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ( 1  +  0 )..^ ( 1  +  N
) )  /\  (
1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
7062, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  < 
N  /\  0  <  K ) )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
7170ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  < 
N  /\  0  <  K )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
723, 4, 71syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  < 
N  /\  0  <  K )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) )
7372ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( K  <  N  /\  0  <  K )  ->  ( ( N  -  K )  - 
1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
7473com13 76 . . . . . . 7  |-  ( ( K  <  N  /\  0  <  K )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
7574ex 424 . . . . . 6  |-  ( K  <  N  ->  (
0  <  K  ->  ( N  e.  NN  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) ) )
7675com14 84 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 0  <  K  ->  ( N  e.  NN  ->  ( K  <  N  -> 
( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) ) )
7776imp 419 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  0  <  K )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( K  <  N  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
782, 77sylbi 188 . . 3  |-  ( K  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( K  <  N  -> 
( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
79783imp 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( N  -  K
)  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
801, 79sylbi 188 1  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  K )  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444  ..^cfzo 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
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