Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.13 Unicode version

Theorem tz9.13 7347
 Description: Every set is well-founded, assuming the Axiom of Regularity. In other words, every set belongs to a layer of the cumulative hierarchy of sets. Proposition 9.13 of [TakeutiZaring] p. 78. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.13.1
Assertion
Ref Expression
tz9.13
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tz9.13
StepHypRef Expression
1 tz9.13.1 . . 3
2 setind 7303 . . . 4
3 ssel 3097 . . . . . . . 8
4 vex 2730 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2313 . . . . . . . . . 10
65rexbidv 2528 . . . . . . . . 9
74, 6elab 2851 . . . . . . . 8
83, 7syl6ib 219 . . . . . . 7
98ralrimiv 2587 . . . . . 6
10 vex 2730 . . . . . . 7
1110tz9.12 7346 . . . . . 6
129, 11syl 17 . . . . 5
13 eleq1 2313 . . . . . . 7
1413rexbidv 2528 . . . . . 6
1510, 14elab 2851 . . . . 5
1612, 15sylibr 205 . . . 4
172, 16mpg 1542 . . 3
181, 17eleqtrri 2326 . 2
19 eleq1 2313 . . . 4
2019rexbidv 2528 . . 3
211, 20elab 2851 . 2
2218, 21mpbi 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   wss 3078  con0 4285  cfv 4592  cr1 7318 This theorem is referenced by:  tz9.13g  7348 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
 Copyright terms: Public domain W3C validator