Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trcl Unicode version

Theorem trcl 7294
 Description: For any set , show the properties of its transitive closure . Similar to Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73 except that we show an explicit expression for the transitive closure rather than just its existence. See tz9.1 7295 for an abbreviated version showing existence. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trcl.1
trcl.2
trcl.3
Assertion
Ref Expression
trcl
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem trcl
StepHypRef Expression
1 peano1 4566 . . . . 5
2 trcl.2 . . . . . . . 8
32fveq1i 5378 . . . . . . 7
4 trcl.1 . . . . . . . 8
5 fr0g 6334 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 10 . . . . . . 7
73, 6eqtr2i 2274 . . . . . 6
87eqimssi 3153 . . . . 5
9 fveq2 5377 . . . . . . 7
109sseq2d 3127 . . . . . 6
1110rcla4ev 2821 . . . . 5
121, 8, 11mp2an 656 . . . 4
13 ssiun 3842 . . . 4
1412, 13ax-mp 10 . . 3
15 trcl.3 . . 3
1614, 15sseqtr4i 3132 . 2
17 dftr2 4012 . . . 4
18 eliun 3807 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 678 . . . . . . . 8
20 r19.42v 2656 . . . . . . . 8
2119, 20bitr4i 245 . . . . . . 7
22 elunii 3732 . . . . . . . . 9
23 ssun2 3249 . . . . . . . . . . 11
24 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . 13
2524uniex 4407 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25unex 4409 . . . . . . . . . . . 12
27 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
28 unieq 3736 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28uneq12d 3240 . . . . . . . . . . . . 13
30 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
31 unieq 3736 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31uneq12d 3240 . . . . . . . . . . . . 13
332, 29, 32frsucmpt2 6338 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33mpan2 655 . . . . . . . . . . 11
3523, 34syl5sseqr 3148 . . . . . . . . . 10
3635sseld 3102 . . . . . . . . 9
3722, 36syl5 30 . . . . . . . 8
3837reximia 2610 . . . . . . 7
3921, 38sylbi 189 . . . . . 6
40 peano2 4567 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . 13
4241eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . 12
4342rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . 11
4443ex 425 . . . . . . . . . 10
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9
4645rexlimiv 2623 . . . . . . . 8
47 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10
4847eleq2d 2320 . . . . . . . . 9
4948cbvrexv 2709 . . . . . . . 8
5046, 49sylibr 205 . . . . . . 7
51 eliun 3807 . . . . . . 7
5250, 51sylibr 205 . . . . . 6
5339, 52syl 17 . . . . 5
5453ax-gen 1536 . . . 4
5517, 54mpgbir 1544 . . 3
56 treq 4016 . . . 4
5715, 56ax-mp 10 . . 3
5855, 57mpbir 202 . 2
59 fveq2 5377 . . . . . . . 8
6059sseq1d 3126 . . . . . . 7
61 fveq2 5377 . . . . . . . 8
6261sseq1d 3126 . . . . . . 7
63 fveq2 5377 . . . . . . . 8
6463sseq1d 3126 . . . . . . 7
653, 6eqtri 2273 . . . . . . . . . 10
6665sseq1i 3123 . . . . . . . . 9
6766biimpri 199 . . . . . . . 8
6867adantr 453 . . . . . . 7
69 uniss 3748 . . . . . . . . . . . . 13
70 df-tr 4011 . . . . . . . . . . . . . 14
71 sstr2 3107 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7473anc2li 542 . . . . . . . . . . 11
75 unss 3259 . . . . . . . . . . 11
7674, 75syl6ib 219 . . . . . . . . . 10
7734sseq1d 3126 . . . . . . . . . . 11
7877biimprd 216 . . . . . . . . . 10
7976, 78syl9r 69 . . . . . . . . 9
8079com23 74 . . . . . . . 8
8180adantld 455 . . . . . . 7
8260, 62, 64, 68, 81finds2 4575 . . . . . 6
8382com12 29 . . . . 5
8483ralrimiv 2587 . . . 4
85 fveq2 5377 . . . . . . . 8
8685cbviunv 3839 . . . . . . 7
8715, 86eqtri 2273 . . . . . 6
8887sseq1i 3123 . . . . 5
89 iunss 3841 . . . . 5
9088, 89bitri 242 . . . 4
9184, 90sylibr 205 . . 3
9291ax-gen 1536 . 2
9316, 58, 923pm3.2i 1135 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939  wal 1532   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   cun 3076   wss 3078  c0 3362  cuni 3727  ciun 3803   cmpt 3974   wtr 4010   csuc 4287  com 4547   cres 4582  cfv 4592  crdg 6308 This theorem is referenced by:  tz9.1  7295  tz9.1c  7296 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
 Copyright terms: Public domain W3C validator