MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topcld Unicode version

Theorem topcld 16604
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
topcld  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3428 . . . 4  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
2 0opn 16482 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
31, 2syl5eqel 2337 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  X )  e.  J )
4 ssid 3118 . . 3  |-  X  C_  X
53, 4jctil 525 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  X  /\  ( X  \  X )  e.  J ) )
6 iscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
76iscld 16596 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  ( X 
\  X )  e.  J ) ) )
85, 7mpbird 225 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3075    C_ wss 3078   (/)c0 3362   U.cuni 3727   ` cfv 4592   Topctop 16463   Clsdccld 16585
This theorem is referenced by:  clsval  16606  riincld  16613  clscld  16616  clstop  16638  cldmre  16647  indiscld  16660  iscon2  16972  cnmpt2pc  18258  rlmbn  18610  ubthlem1  21279  cmpfiiin  25938  kelac1  26327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fv 4608  df-top 16468  df-cld 16588
  Copyright terms: Public domain W3C validator