Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfis Unicode version

Theorem tfis 4536
 Description: Transfinite Induction Schema. If all ordinal numbers less than a given number have a property (induction hypothesis), then all ordinal numbers have the property (conclusion). Exercise 25 of [Enderton] p. 200. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
tfis.1
Assertion
Ref Expression
tfis
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tfis
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3179 . . . . 5
2 nfcv 2385 . . . . . . 7
3 nfrab1 2679 . . . . . . . . 9
42, 3nfss 3096 . . . . . . . 8
53nfcri 2379 . . . . . . . 8
64, 5nfim 1735 . . . . . . 7
7 dfss3 3093 . . . . . . . . 9
8 sseq1 3120 . . . . . . . . 9
97, 8syl5bbr 252 . . . . . . . 8
10 rabid 2675 . . . . . . . . 9
11 eleq1 2313 . . . . . . . . 9
1210, 11syl5bbr 252 . . . . . . . 8
139, 12imbi12d 313 . . . . . . 7
14 sbequ 1952 . . . . . . . . . . . 12
15 nfcv 2385 . . . . . . . . . . . . 13
16 nfcv 2385 . . . . . . . . . . . . 13
17 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13
18 nfs1v 2066 . . . . . . . . . . . . 13
19 sbequ12 1892 . . . . . . . . . . . . 13
2015, 16, 17, 18, 19cbvrab 2725 . . . . . . . . . . . 12
2114, 20elrab2 2862 . . . . . . . . . . 11
2221simprbi 452 . . . . . . . . . 10
2322ralimi 2580 . . . . . . . . 9
24 tfis.1 . . . . . . . . 9
2523, 24syl5 30 . . . . . . . 8
2625anc2li 542 . . . . . . 7
272, 6, 13, 26vtoclgaf 2786 . . . . . 6
2827rgen 2570 . . . . 5
29 tfi 4535 . . . . 5
301, 28, 29mp2an 656 . . . 4
3130eqcomi 2257 . . 3
3231rabeq2i 2724 . 2
3332simprbi 452 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wsb 1882  wral 2509  crab 2512   wss 3078  con0 4285 This theorem is referenced by:  tfis2f  4537 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289
 Copyright terms: Public domain W3C validator