MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2b Unicode version

Theorem sylow2b 14769
Description: Sylow's second theorem. Any  P-group  H is a subgroup of a conjugated  P-group  K of order  P ^ n  ||  ( # `  X
) with  n maximal. This is usually stated under the assumption that  K is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2b.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2b.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2b  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  (  x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, G    g, K, x    .+ , g, x    ph, g    x,  .-    g, H, x    g, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x, g)    .- ( g)

Proof of Theorem sylow2b
StepHypRef Expression
1 sylow2b.x . 2  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 sylow2b.xf . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
3 sylow2b.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
4 sylow2b.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
5 sylow2b.a . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 eqid 2253 . 2  |-  ( G ~QG  K )  =  ( G ~QG  K )
7 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
u  .+  s )  =  ( u  .+  z ) )
87cbvmptv 4008 . . . . 5  |-  ( s  e.  v  |->  ( u 
.+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )
9 oveq1 5717 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
u  .+  z )  =  ( x  .+  z ) )
109mpteq2dv 4004 . . . . 5  |-  ( u  =  x  ->  (
z  e.  v  |->  ( u  .+  z ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
118, 10syl5eq 2297 . . . 4  |-  ( u  =  x  ->  (
s  e.  v  |->  ( u  .+  s ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1211rneqd 4813 . . 3  |-  ( u  =  x  ->  ran  (  s  e.  v  |->  ( u  .+  s
) )  =  ran  (  z  e.  v  |->  ( x  .+  z
) ) )
13 mpteq1 3997 . . . 4  |-  ( v  =  y  ->  (
z  e.  v  |->  ( x  .+  z ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
1413rneqd 4813 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ran  (  z  e.  v  |->  ( x  .+  z
) )  =  ran  (  z  e.  y  |->  ( x  .+  z
) ) )
1512, 14cbvmpt2v 5778 . 2  |-  ( u  e.  H ,  v  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  (  s  e.  v 
|->  ( u  .+  s
) ) )  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /. ( G ~QG  K ) )  |->  ran  (  z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
16 sylow2b.hp . 2  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
17 sylow2b.kn . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
18 sylow2b.d . 2  |-  .-  =  ( -g `  G )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18sylow2blem3 14768 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  (  x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   ran crn 4581   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    e. cmpt2 5712   /.cqs 6545   Fincfn 6749   ^cexp 10982   #chash 11215    pCnt cpc 12763   Basecbs 13022   ↾s cress 13023   +g cplusg 13082   -gcsg 14200  SubGrpcsubg 14450   ~QG cqg 14452   pGrp cpgp 14677
This theorem is referenced by:  slwhash  14770  sylow2  14772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-eqg 14455  df-ga 14579  df-od 14679  df-pgp 14681
  Copyright terms: Public domain W3C validator