Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdltnd Unicode version

Theorem swrdltnd 28000
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdltnd  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdltnd
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 11719 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L )  C_  dom  W ,  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) ) ,  (/) ) )
3 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  L  <_  F )
4 3simpc 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
6 fzon 11113 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L )  =  (/) ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
83, 7mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  =  (/) )
9 0ss 3616 . . . . 5  |-  (/)  C_  dom  W
108, 9syl6eqss 3358 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  C_  dom  W )
11 iftrue 3705 . . . 4  |-  ( ( F..^ L )  C_  dom  W  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
13 zre 10242 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
14 zre 10242 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ZZ  ->  F  e.  RR )
15 suble0 9498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  RR  /\  F  e.  RR )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1613, 14, 15syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1716biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  -  F )  <_  0
)
18 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
1918ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
20 0z 10249 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
2119, 20jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ ) )
2221adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F )  e.  ZZ ) )
23 fzon 11113 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2517, 24mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
26253adantl1 1113 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
27 mpteq1 4249 . . . . 5  |-  ( ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
29 mpt0 5531 . . . 4  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2452 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  (/) )
312, 12, 303eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
3231ex 424 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090  Word cword 11672   substr csubstr 11675
This theorem is referenced by:  swrdnd  28001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-substr 11681
  Copyright terms: Public domain W3C validator