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Theorem swrdccatin12lem4 28025
Description: Lemma 4 for swrdccatin12 28026. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccat3.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem4
StepHypRef Expression
1 3simpc 956 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
21adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
4 elfzo0 11126 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )
5 swrdccat3.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( # `  A
)
6 lencl 11690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
7 elfzo0 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( 0..^ L )  <->  ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L
) )
8 nn0addcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
98ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M )  e. 
NN0 ) )
1093ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1110com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
12113ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1312imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  NN0 )
14 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  L  e.  NN )
15 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L ) )  ->  K  e.  RR )
17 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
18173ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  M  e.  RR )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L ) )  ->  M  e.  RR )
20 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( L  e.  NN  ->  L  e.  RR )
21203ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  L  e.  RR )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L ) )  ->  L  e.  RR )
2316, 19, 22ltaddsubd 9582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L ) )  ->  ( ( K  +  M )  < 
L  <->  K  <  ( L  -  M ) ) )
2423exbiri 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  ( K  +  M )  <  L ) ) )
2524com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  -> 
( K  +  M
)  <  L )
) )
2625imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
27263adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
2827impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  <  L
)
2913, 14, 283jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) )
3029ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) )
3130a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  M  <  L )  ->  ( N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) ) )
327, 31sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0..^ L )  ->  ( N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) ) ) )
3332imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) )
3433a1ii 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) ) )
35 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  L  e.  NN0 ) )
36 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN  <->  L  e.  NN ) )
37 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( K  +  M )  <  L
) )
3836, 373anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) )  <->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  < 
L ) ) )
3938imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) )
4039imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )  <-> 
( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) ) )
4134, 35, 403imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
4241eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( # `
 A )  e. 
NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
435, 6, 42mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) ) )
44433ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  (
( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) ) )
4544imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) )
4645com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
474, 46sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  ->  ( (
( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
4847adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
4948impcom 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
50 elfzo0 11126 . . . . . 6  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
)  <->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
5149, 50sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
52 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  <-> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ) )
533, 51, 52sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ) )
54 ccatval1 11700 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
5553, 54syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( A `  ( K  +  M ) ) )
565swrdccatin12lem3c 28023 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) ) )
5756adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
58 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
59 swrdfv 11726 . . . 4  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) ) )
6057, 58, 59syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
) )
61 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V
)
6261adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
63 fzossfz 11112 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ L )  C_  (
0 ... L )
6463a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
0..^ L )  C_  ( 0 ... L
) )
6564sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  ( M  e.  ( 0..^ L )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) ) )
6665impcom 420 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  + 
1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L ) )
6766adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L ) )
6867adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
695eleq1i 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
70 elnn0uz 10479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  <->  L  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
71 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
7270, 71sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
735eqcomi 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( # `  A )  =  L
7473oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( # `  A
) )  =  ( 0 ... L )
7572, 74syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
7669, 75sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
776, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
78773ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
7978adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  A ) ) )
8079adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
81 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )
82 swrdfv 11726 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
8362, 68, 80, 81, 82syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
8455, 60, 833eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `
 K ) )
8584ex 424 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0..^ L )  /\  N  e.  ( ( L  +  1 ) ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   concat cconcat 11673   substr csubstr 11675
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-substr 11681
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