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Theorem sumdmdii 22825
Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdii  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A  MH*  B )

Proof of Theorem sumdmdii
StepHypRef Expression
1 ineq2 3272 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  (
x  i^i  ( A  +H  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
21adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  =  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3 elin 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
4 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
CH
5 sumdmdi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
CH
64, 5chseli 21868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  +H  B )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) )
7 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  C_  x  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  x )
8 chsh 21634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  SH )
9 shsubcl 21630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  SH  /\  y  e.  x  /\  w  e.  x )  ->  ( y  -h  w
)  e.  x )
1093exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  SH  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  x  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) )
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  x  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) )
127, 11syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( ( B  C_  x  /\  w  e.  B
)  ->  ( y  -h  w )  e.  x
) ) )
1312exp4a 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CH  ->  (
y  e.  x  -> 
( B  C_  x  ->  ( w  e.  B  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) ) )
1413com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( w  e.  B  ->  ( y  -h  w
)  e.  x ) ) ) )
1514imp41 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  -h  w )  e.  x )
1615adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  -h  w )  e.  x )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( y  -h  w
)  e.  x )
18 chel 21640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  CH  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~H )
1918adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  ~H )
204cheli 21642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
215cheli 21642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
22 hvsubadd 21486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  ( w  +h  z )  =  y ) )
23 ax-hvcom 21411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( w  +h  z
)  =  ( z  +h  w ) )
2423eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( w  +h  z )  =  y  <-> 
( z  +h  w
)  =  y ) )
25 eqcom 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +h  w )  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) )
2624, 25syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( w  +h  z )  =  y  <-> 
y  =  ( z  +h  w ) ) )
27263adant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( w  +h  z
)  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
2822, 27bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  w  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
29283com23 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
3019, 20, 21, 29syl3an 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
31303expa 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
( y  -h  w
)  =  z  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
32 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  -h  w )  =  z  ->  (
( y  -h  w
)  e.  x  <->  z  e.  x ) )
3331, 32syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  B )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( ( y  -h  w )  e.  x  <->  z  e.  x ) ) )
3433imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( y  -h  w )  e.  x  <->  z  e.  x ) )
3517, 34mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
z  e.  x )
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
y  =  ( z  +h  w ) )
3735, 36jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A
)  /\  w  e.  B )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( z  e.  x  /\  y  =  (
z  +h  w ) ) )
3837exp31 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  (
w  e.  B  -> 
( y  =  ( z  +h  w )  ->  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w
) ) ) ) )
3938reximdvai 2615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
40 r19.42v 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  x  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) )
4139, 40syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
CH  /\  B  C_  x
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4241reximdva 2617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) ) )
43 elin 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  A ) )
44 ancom 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  A )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  x )
)
4543, 44bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( z  e.  A  /\  z  e.  x ) )
4645anbi1i 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( x  i^i  A )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  z  e.  x )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
47 anass 633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  z  e.  x
)  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4846, 47bitri 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( x  i^i  A )  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) ) )
4948rexbii2 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  x  /\  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w
) ) )
5042, 49syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  E. z  e.  ( x  i^i  A
) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
514chshii 21637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  e.  SH
52 shincl 21790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  SH )
538, 51, 52sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  i^i  A )  e.  SH )
5453ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( x  i^i  A )  e.  SH )
555chshii 21637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
56 shsel 21723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( y  e.  ( ( x  i^i  A
)  +H  B )  <->  E. z  e.  (
x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
5754, 55, 56sylancl 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
)  <->  E. z  e.  ( x  i^i  A ) E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w ) ) )
5850, 57sylibrd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  y  =  ( z  +h  w )  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
596, 58syl5bi 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  /\  y  e.  x
)  ->  ( y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
6059expimpd 589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( ( y  e.  x  /\  y  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
) ) )
613, 60syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( y  e.  ( x  i^i  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( ( x  i^i  A
)  +H  B ) ) )
6261ssrdv 3106 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  C_  x )  -> 
( x  i^i  ( A  +H  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  +H  B ) )
6362adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  +H  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) )
642, 63eqsstr3d 3134 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) )
65 chincl 21908 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  CH )
664, 65mpan2 655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  (
x  i^i  A )  e.  CH )
67 chslej 21907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( ( x  i^i 
A )  +H  B
)  C_  ( (
x  i^i  A )  vH  B ) )
6866, 5, 67sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CH  ->  (
( x  i^i  A
)  +H  B ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) )
6968ad2antrl 711 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( ( x  i^i  A )  +H  B )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
)
7064, 69sstrd 3110 . . . 4  |-  ( ( ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B )  /\  ( x  e.  CH  /\  B  C_  x ) )  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
)
7170exp32 591 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  (
x  e.  CH  ->  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) ) )
7271ralrimiv 2587 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  ( x  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( x  i^i  A
)  vH  B )
) )
73 dmdbr2 22713 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  ->  (
x  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( x  i^i 
A )  vH  B
) ) ) )
744, 5, 73mp2an 656 . 2  |-  ( A 
MH*  B  <->  A. x  e.  CH  ( B  C_  x  -> 
( x  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( x  i^i  A )  vH  B ) ) )
7572, 74sylibr 205 1  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  ->  A  MH*  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    i^i cin 3077    C_ wss 3078   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   ~Hchil 21329    +h cva 21330    -h cmv 21335   SHcsh 21338   CHcch 21339    +H cph 21341    vH chj 21343    MH* cdmd 21377
This theorem is referenced by:  cmmdi  22826  sumdmdi  22830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-chj 21719  df-dmd 22691
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