Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucxpdom Unicode version

Theorem sucxpdom 6957
 Description: Cross product dominates successor for set with cardinality greater than 1. Proposition 10.38 of [TakeutiZaring] p. 93 (but generalized to arbitrary sets, not just ordinals). (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucxpdom

Proof of Theorem sucxpdom
StepHypRef Expression
1 df-suc 4291 . 2
2 relsdom 6756 . . . . . . . . 9
32brrelex2i 4637 . . . . . . . 8
4 1on 6372 . . . . . . . 8
5 xpsneng 6832 . . . . . . . 8
63, 4, 5sylancl 646 . . . . . . 7
7 ensym 6796 . . . . . . 7
86, 7syl 17 . . . . . 6
9 endom 6774 . . . . . 6
108, 9syl 17 . . . . 5
11 ensn1g 6811 . . . . . . . . 9
123, 11syl 17 . . . . . . . 8
13 ensdomtr 6882 . . . . . . . 8
1412, 13mpancom 653 . . . . . . 7
15 0ex 4047 . . . . . . . . 9
16 xpsneng 6832 . . . . . . . . 9
173, 15, 16sylancl 646 . . . . . . . 8
18 ensym 6796 . . . . . . . 8
1917, 18syl 17 . . . . . . 7
20 sdomentr 6880 . . . . . . 7
2114, 19, 20syl2anc 645 . . . . . 6
22 sdomdom 6775 . . . . . 6
2321, 22syl 17 . . . . 5
24 1n0 6380 . . . . . 6
25 xpsndisj 5010 . . . . . 6
2624, 25mp1i 13 . . . . 5
27 undom 6835 . . . . 5
2810, 23, 26, 27syl21anc 1186 . . . 4
29 sdomentr 6880 . . . . . 6
308, 29mpdan 652 . . . . 5
31 sdomentr 6880 . . . . . 6
3219, 31mpdan 652 . . . . 5
33 unxpdom 6955 . . . . 5
3430, 32, 33syl2anc 645 . . . 4
35 domtr 6799 . . . 4
3628, 34, 35syl2anc 645 . . 3
37 xpen 6909 . . . 4
386, 17, 37syl2anc 645 . . 3
39 domentr 6805 . . 3
4036, 38, 39syl2anc 645 . 2
411, 40syl5eqbr 3953 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  cvv 2727   cun 3076   cin 3077  c0 3362  csn 3544   class class class wbr 3920  con0 4285   csuc 4287   cxp 4578  c1o 6358   cen 6746   cdom 6747   csdm 6748 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-1o 6365  df-2o 6366  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752
 Copyright terms: Public domain W3C validator