Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suc11reg Unicode version

Theorem suc11reg 7204
 Description: The successor operation behaves like a one-to-one function (assuming the Axiom of Regularity). Exercise 35 of [Enderton] p. 208 and its converse. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
suc11reg

Proof of Theorem suc11reg
StepHypRef Expression
1 en2lp 7201 . . . . 5
2 ianor 476 . . . . 5
31, 2mpbi 201 . . . 4
4 sucidg 4363 . . . . . . . . . . 11
5 eleq2 2314 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10
7 elsucg 4352 . . . . . . . . . 10
86, 7sylibd 207 . . . . . . . . 9
98imp 420 . . . . . . . 8
109ord 368 . . . . . . 7
1110ex 425 . . . . . 6
1211com23 74 . . . . 5
13 sucidg 4363 . . . . . . . . . . . 12
14 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11
16 elsucg 4352 . . . . . . . . . . 11
1715, 16sylibd 207 . . . . . . . . . 10
1817imp 420 . . . . . . . . 9
1918ord 368 . . . . . . . 8
20 eqcom 2255 . . . . . . . 8
2119, 20syl6ib 219 . . . . . . 7
2221ex 425 . . . . . 6
2322com23 74 . . . . 5
2412, 23jaao 497 . . . 4
253, 24mpi 18 . . 3
26 sucexb 4491 . . . . 5
27 sucexb 4491 . . . . . 6
2827notbii 289 . . . . 5
29 nelneq 2347 . . . . 5
3026, 28, 29syl2anb 467 . . . 4
3130pm2.21d 100 . . 3
32 eqcom 2255 . . . 4
3326notbii 289 . . . . . . 7
34 nelneq 2347 . . . . . . 7
3527, 33, 34syl2anb 467 . . . . . 6
3635ancoms 441 . . . . 5
3736pm2.21d 100 . . . 4
3832, 37syl5bi 210 . . 3
39 sucprc 4360 . . . . 5
40 sucprc 4360 . . . . 5
4139, 40eqeqan12d 2268 . . . 4
4241biimpd 200 . . 3
4325, 31, 38, 424cases 920 . 2
44 suceq 4350 . 2
4543, 44impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  cvv 2727   csuc 4287 This theorem is referenced by:  rankxpsuc  7436  bnj551  27460 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-eprel 4198  df-fr 4245  df-suc 4291
 Copyright terms: Public domain W3C validator