Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirling Unicode version

Theorem stirling 27161
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that  S and  n factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for π it is proven that the unknown constant is the square root of π and then the exact Stirling's formula is established. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirling.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirling  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1

Proof of Theorem stirling
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
2 eqid 2358 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  n ) ) )
31, 2stirlinglem14 27159 . 2  |-  E. c  e.  RR+  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
4 nfv 1619 . . . . . 6  |-  F/ n  c  e.  RR+
5 nfmpt1 4190 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 nfcv 2494 . . . . . . 7  |-  F/_ n  ~~>
7 nfcv 2494 . . . . . . 7  |-  F/_ n
c
85, 6, 7nfbr 4148 . . . . . 6  |-  F/ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
94, 8nfan 1829 . . . . 5  |-  F/ n
( c  e.  RR+  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
10 stirling.1 . . . . 5  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
11 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
12 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
14 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )
15 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
16 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
c  e.  RR+ )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
189, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17stirlinglem15 27160 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
1918ex 423 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 ) )
2019rexlimiv 2737 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
213, 20ax-mp 8 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   4c4 9887   NN0cn0 10057   RR+crp 10446   ^cexp 11197   !cfa 11381   sqrcsqr 11814    ~~> cli 12054   _eceu 12441   picpi 12445   logclog 20019
This theorem is referenced by:  stirlingr  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-tan 12450  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-ovol 18928  df-vol 18929  df-mbf 19079  df-itg1 19080  df-itg2 19081  df-ibl 19082  df-itg 19083  df-0p 19129  df-limc 19320  df-dv 19321  df-ulm 19860  df-log 20021  df-cxp 20022
  Copyright terms: Public domain W3C validator