Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirling Unicode version

Theorem stirling 27849
Description: Stirling's approximation formula for  n factorial. The proof follows two major steps: first it is proven that  S and  n factorial are asymptotically equivalent, up to an unknown constant. Then, using Wallis' formula for π it is proven that the unknown constant is the square root of π and then the exact Stirling's formula is established. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirling.1  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirling  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1

Proof of Theorem stirling
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
2 eqid 2285 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  n ) ) )
31, 2stirlinglem14 27847 . 2  |-  E. c  e.  RR+  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
4 nfv 1607 . . . . . 6  |-  F/ n  c  e.  RR+
5 nfmpt1 4111 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ n  ~~>
7 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ n
c
85, 6, 7nfbr 4069 . . . . . 6  |-  F/ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c
94, 8nfan 1773 . . . . 5  |-  F/ n
( c  e.  RR+  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
10 stirling.1 . . . . 5  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
11 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
12 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
13 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
14 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  n
) ^ 4 )  /  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) `  (
2  x.  n ) ) ) `  n
) ^ 2 ) ) )
15 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
16 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
c  e.  RR+ )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  ~~>  c )
189, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17stirlinglem15 27848 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
1918ex 423 . . 3  |-  ( c  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 ) )
2019rexlimiv 2663 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )  ~~>  c  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n
)  /  ( S `
 n ) ) )  ~~>  1 )
213, 20ax-mp 8 1  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   E.wrex 2546   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   4c4 9799   NN0cn0 9967   RR+crp 10356   ^cexp 11106   !cfa 11290   sqrcsqr 11720    ~~> cli 11960   _eceu 12346   picpi 12350   logclog 19914
This theorem is referenced by:  stirlingr  27850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-ofr 6081  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-e 12352  df-sin 12353  df-cos 12354  df-tan 12355  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-ovol 18826  df-vol 18827  df-mbf 18977  df-itg1 18978  df-itg2 18979  df-ibl 18980  df-itg 18981  df-0p 19027  df-limc 19218  df-dv 19219  df-ulm 19758  df-log 19916  df-cxp 19917
  Copyright terms: Public domain W3C validator