Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssfz12 Unicode version

Theorem ssfz12 27976
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )

Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 10455 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  (
ZZ>= `  K )  <->  K  <_  L ) )
21biimp3ar 1284 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 eluzfz1 11020 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ( K ... L ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  K  e.  ( K ... L
) )
5 eluzfz2 11021 . . . 4  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  L  e.  ( K ... L ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  L  e.  ( K ... L
) )
7 ssel2 3303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
8 ssel2 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  L  e.  ( M ... N
) )
9 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)
10 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K ) )
12 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
13 pm3.21 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  <_  N  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
14133ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1512, 14sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( M  <_  K  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1716com13 76 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  <_  K  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
18173ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
1911, 18sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2120com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
228, 9, 213syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  L  e.  ( K ... L
) )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
2322ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( L  e.  ( K ... L )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2423com4t 81 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
257, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ... L
)  C_  ( M ... N )  /\  K  e.  ( K ... L
) )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
2625ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  -> 
( L  e.  ( K ... L )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) ) )
2726com24 83 . . . . 5  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) ) )
2827pm2.43i 45 . . . 4  |-  ( ( K ... L ) 
C_  ( M ... N )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( L  e.  ( K ... L
)  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) ) )
2928com14 84 . . 3  |-  ( L  e.  ( K ... L )  ->  (
( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  -> 
( K  e.  ( K ... L )  ->  ( ( K ... L )  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N
) ) ) ) )
306, 29mpcom 34 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  ( K  e.  ( K ... L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) ) )
314, 30mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  <_  L )  ->  (
( K ... L
)  C_  ( M ... N )  ->  ( M  <_  K  /\  L  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator