MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomg Unicode version

Theorem ssdomg 6793
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4057 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
3 f1oi 5368 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
4 dff1o3 5335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
53, 4mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) )
65simpli 446 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  A ) : A -onto-> A
7 fof 5308 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
86, 7ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
9 fss 5254 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  B )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> B )
108, 9mpan 654 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A --> B )
11 funi 5142 . . . . . . . 8  |-  Fun  _I
12 cnvi 4992 . . . . . . . . 9  |-  `'  _I  =  _I
1312funeqi 5133 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `'  _I  <->  Fun  _I  )
1411, 13mpbir 202 . . . . . . 7  |-  Fun  `'  _I
15 funres11 5177 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `'  _I  ->  Fun  `' (  _I  |`  A )
)
1614, 15ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Fun  `' (  _I  |`  A )
1710, 16jctir 526 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) ) )
18 df-f1 4605 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B  <->  ( (  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
1917, 18sylibr 205 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
2019adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
21 f1dom2g 6765 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )  ->  A  ~<_  B )
221, 2, 20, 21syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  ~<_  B )
2322expcom 426 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    _I cid 4197   `'ccnv 4579    |` cres 4582   Fun wfun 4586   -->wf 4588   -1-1->wf1 4589   -onto->wfo 4590   -1-1-onto->wf1o 4591    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  undom  6835  xpdom3  6845  domunsncan  6847  0domg  6873  domtriord  6892  sdomel  6893  sdomdif  6894  onsdominel  6895  pwdom  6898  2pwuninel  6901  mapdom1  6911  mapdom3  6918  limenpsi  6921  php  6930  php2  6931  php3  6932  onomeneq  6935  nndomo  6939  sucdom2  6942  unbnn  6998  nnsdomg  7001  fodomfi  7020  fidomdm  7023  pwfilem  7034  hartogslem1  7141  hartogs  7143  card2on  7152  wdompwdom  7176  wdom2d  7178  wdomima2g  7184  unxpwdom2  7186  unxpwdom  7187  harwdom  7188  r1sdom  7330  tskwe  7467  carddomi2  7487  cardsdomelir  7490  cardsdomel  7491  harcard  7495  carduni  7498  cardmin2  7515  infxpenlem  7525  ssnum  7550  acnnum  7563  fodomfi2  7571  inffien  7574  alephordi  7585  dfac12lem2  7654  cdadom3  7698  cdainflem  7701  cdainf  7702  unctb  7715  infunabs  7717  infcda  7718  infdif  7719  infdif2  7720  infmap2  7728  ackbij2  7753  fictb  7755  cfslb  7776  fincssdom  7833  fin67  7905  fin1a2lem12  7921  axcclem  7967  brdom3  8037  brdom5  8038  brdom4  8039  imadomg  8043  ondomon  8067  alephval2  8074  alephadd  8079  alephmul  8080  alephexp1  8081  alephsuc3  8082  alephexp2  8083  alephreg  8084  pwcfsdom  8085  cfpwsdom  8086  canthnum  8151  pwfseqlem5  8165  pwxpndom2  8167  pwcdandom  8169  gchac  8175  gchaleph  8177  gchaleph2  8178  winainflem  8195  gchina  8201  tsksdom  8258  tskinf  8271  inttsk  8276  inar1  8277  inatsk  8280  tskord  8282  tskcard  8283  grudomon  8319  gruina  8320  axgroth2  8327  axgroth6  8330  grothac  8332  hashun2  11243  hashsslei  11255  isercoll  12018  o1fsum  12148  xpnnenOLD  12362  znnen  12365  qnnen  12366  rpnnen  12379  ruc  12395  phicl2  12710  phibnd  12713  4sqlem11  12876  vdwlem11  12912  0ram  12941  pgpssslw  14760  fislw  14771  cctop  16575  1stcfb  17003  2ndc1stc  17009  1stcrestlem  17010  2ndcctbss  17013  2ndcdisj2  17015  2ndcsep  17017  dis2ndc  17018  csdfil  17421  ufilen  17457  opnreen  18168  rectbntr0  18169  ovolctb2  18683  uniiccdif  18765  dyadmbl  18787  opnmblALT  18790  vitali  18800  mbfimaopnlem  18842  mbfsup  18851  fta1blem  19386  aannenlem3  19542  ppiwordi  20232  musum  20263  ppiub  20275  chpub  20291  dchrisum0re  20494  dirith2  20509  subfaclefac  22878  erdszelem10  22902  umgraex  23046  konigsberg  23082  snmlff  23083  sndw  24265  carinttar  25068  finminlem  25397  abrexdom  25571  heiborlem3  25703  ctbnfien  26067  pellexlem4  26083  pellexlem5  26084  ttac  26295  idomodle  26678  idomsubgmo  26680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-dom 6751
  Copyright terms: Public domain W3C validator