MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Unicode version

Theorem sdomentr 6880
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 6774 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 sdomdomtr 6879 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan2 462 1  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   class class class wbr 3920    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748
This theorem is referenced by:  sdomen2  6891  unxpdom2  6956  sucxpdom  6957  findcard3  6985  fofinf1o  7022  sdomsdomcardi  7488  cardsdomel  7491  cardmin2  7515  alephnbtwn2  7583  pwsdompw  7714  infdif2  7720  fin23lem27  7838  axcclem  7967  numthcor  8005  sdomsdomcard  8064  pwcfsdom  8085  cfpwsdom  8086  inawinalem  8191  inatsk  8280  r1tskina  8284  tskuni  8285  rucALT  12382  iunmbl2  18746  dirith2  20509  erdszelem10  22902  pellex  26086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator