Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scott0 Unicode version

Theorem scott0 7440
 Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, contains at least one representative with the property, if there is one. In other words, the collection is empty iff no set has the property (i.e. is empty). (Contributed by NM, 15-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scott0
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem scott0
StepHypRef Expression
1 rabeq 2721 . . 3
2 rab0 3382 . . 3
31, 2syl6eq 2301 . 2
4 n0 3371 . . . . . . . . 9
5 nfre1 2561 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11
7 ra4e 2566 . . . . . . . . . . 11
86, 7mpan2 655 . . . . . . . . . 10
95, 8exlimi 1781 . . . . . . . . 9
104, 9sylbi 189 . . . . . . . 8
11 fvex 5391 . . . . . . . . . . . 12
12 eqeq1 2259 . . . . . . . . . . . . 13
1312anbi2d 687 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13cla4ev 2812 . . . . . . . . . . 11
1514eximi 1574 . . . . . . . . . 10
16 excom 1765 . . . . . . . . . 10
1715, 16sylibr 205 . . . . . . . . 9
18 df-rex 2514 . . . . . . . . 9
19 df-rex 2514 . . . . . . . . . 10
2019exbii 1580 . . . . . . . . 9
2117, 18, 203imtr4i 259 . . . . . . . 8
2210, 21syl 17 . . . . . . 7
23 abn0 3380 . . . . . . 7
2422, 23sylibr 205 . . . . . 6
2511dfiin2 3836 . . . . . . 7
26 rankon 7351 . . . . . . . . . . 11
27 eleq1 2313 . . . . . . . . . . 11
2826, 27mpbiri 226 . . . . . . . . . 10
2928rexlimivw 2625 . . . . . . . . 9
3029abssi 3169 . . . . . . . 8
31 onint 4477 . . . . . . . 8
3230, 31mpan 654 . . . . . . 7
3325, 32syl5eqel 2337 . . . . . 6
3424, 33syl 17 . . . . 5
35 nfii1 3832 . . . . . . . . 9
3635nfeq2 2396 . . . . . . . 8
37 eqeq1 2259 . . . . . . . 8
3836, 37rexbid 2526 . . . . . . 7
3938elabg 2852 . . . . . 6
4039ibi 234 . . . . 5
41 ssid 3118 . . . . . . . . . 10
42 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . 12
4342sseq1d 3126 . . . . . . . . . . 11
4443rcla4ev 2821 . . . . . . . . . 10
4541, 44mpan2 655 . . . . . . . . 9
46 iinss 3851 . . . . . . . . 9
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8
48 sseq1 3120 . . . . . . . 8
4947, 48syl5ib 212 . . . . . . 7
5049ralrimiv 2587 . . . . . 6
5150reximi 2612 . . . . 5
5234, 40, 513syl 20 . . . 4
53 rabn0 3381 . . . 4
5452, 53sylibr 205 . . 3
5554necon4i 2472 . 2
563, 55impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  crab 2512   wss 3078  c0 3362  cint 3760  ciin 3804  con0 4285  cfv 4592  crnk 7319 This theorem is referenced by:  scott0s  7442  cplem1  7443  karden  7449 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
 Copyright terms: Public domain W3C validator