MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruc Unicode version

Theorem ruc 12395
Description: The set of natural numbers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 12383 through ruclem13 12394 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 12394 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#uncountable. For an alternate proof see rucALT 12382. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ruc  |-  NN  ~<  RR

Proof of Theorem ruc
StepHypRef Expression
1 reex 8708 . . 3  |-  RR  e.  _V
2 nnssre 9630 . . 3  |-  NN  C_  RR
3 ssdomg 6793 . . 3  |-  ( RR  e.  _V  ->  ( NN  C_  RR  ->  NN  ~<_  RR ) )
41, 2, 3mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  RR
5 ruclem13 12394 . . . . 5  |-  -.  f : NN -onto-> RR
6 f1ofo 5336 . . . . 5  |-  ( f : NN -1-1-onto-> RR  ->  f : NN -onto-> RR )
75, 6mto 169 . . . 4  |-  -.  f : NN -1-1-onto-> RR
87nex 1587 . . 3  |-  -.  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR
9 bren 6757 . . 3  |-  ( NN 
~~  RR  <->  E. f  f : NN -1-1-onto-> RR )
108, 9mtbir 292 . 2  |-  -.  NN  ~~  RR
11 brsdom 6770 . 2  |-  ( NN 
~<  RR  <->  ( NN  ~<_  RR  /\  -.  NN  ~~  RR ) )
124, 10, 11mpbir2an 891 1  |-  NN  ~<  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5   E.wex 1537    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   -onto->wfo 4590   -1-1-onto->wf1o 4591    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   RRcr 8616   NNcn 9626
This theorem is referenced by:  resdomq  12396  aleph1re  12397  aleph1irr  12398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-seq 10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator