Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Unicode version

Theorem recgt0ii 9542
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1
recgt0i.2
Assertion
Ref Expression
recgt0ii

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8675 . . . . . 6
2 ltplus1.1 . . . . . . 7
32recni 8729 . . . . . 6
4 ax-1ne0 8686 . . . . . 6
5 recgt0i.2 . . . . . . 7
62, 5gt0ne0ii 9189 . . . . . 6
71, 3, 4, 6divne0i 9388 . . . . 5
87necomi 2494 . . . 4
9 df-ne 2414 . . . 4
108, 9mpbi 201 . . 3
11 0lt1 9176 . . . . 5
12 0re 8718 . . . . . 6
13 1re 8717 . . . . . 6
1412, 13ltnsymi 8817 . . . . 5
1511, 14ax-mp 10 . . . 4
162, 6rereccli 9405 . . . . . . . . 9
1716renegcli 8988 . . . . . . . 8
1817, 2mulgt0i 8831 . . . . . . 7
195, 18mpan2 655 . . . . . 6
2016recni 8729 . . . . . . . 8
2120, 3mulneg1i 9105 . . . . . . 7
223, 6recidi 9371 . . . . . . . . 9
233, 20, 22mulcomli 8724 . . . . . . . 8
2423negeqi 8925 . . . . . . 7
2521, 24eqtri 2273 . . . . . 6
2619, 25syl6breq 3959 . . . . 5
27 lt0neg1 9160 . . . . . 6
2816, 27ax-mp 10 . . . . 5
29 lt0neg1 9160 . . . . . 6
3013, 29ax-mp 10 . . . . 5
3126, 28, 303imtr4i 259 . . . 4
3215, 31mto 169 . . 3
3310, 32pm3.2ni 830 . 2
34 axlttri 8774 . . 3
3512, 16, 34mp2an 656 . 2
3633, 35mpbir 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wb 178   wo 359   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   clt 8747  cneg 8918   cdiv 9303 This theorem is referenced by:  halfgt0  9811  0.999...  12211  sincos2sgn  12348  rpnnen2lem3  12369  rpnnen2lem4  12370  rpnnen2lem9  12375  pcoass  18354  log2tlbnd  20073 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304
 Copyright terms: Public domain W3C validator