Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval4 Unicode version

Theorem rankval4 7423
 Description: The rank of a set is the supremum of the successors of the ranks of its members. Exercise 9.1 of [Jech] p. 72. Also a special case of Theorem 7V(b) of [Enderton] p. 204. (Contributed by NM, 12-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1
Assertion
Ref Expression
rankval4
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankval4
StepHypRef Expression
1 nfcv 2385 . . . . . 6
2 nfcv 2385 . . . . . . 7
3 nfiu1 3831 . . . . . . 7
42, 3nffv 5384 . . . . . 6
51, 4dfss2f 3094 . . . . 5
6 vex 2730 . . . . . . 7
76rankid 7389 . . . . . 6
8 ssiun2 3843 . . . . . . . 8
9 rankon 7351 . . . . . . . . . 10
109onsuci 4520 . . . . . . . . 9
11 rankr1b.1 . . . . . . . . . 10
1210rgenw 2572 . . . . . . . . . 10
13 iunon 6241 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13mp2an 656 . . . . . . . . 9
15 r1ord3 7338 . . . . . . . . 9
1610, 14, 15mp2an 656 . . . . . . . 8
178, 16syl 17 . . . . . . 7
1817sseld 3102 . . . . . 6
197, 18mpi 18 . . . . 5
205, 19mpgbir 1544 . . . 4
21 fvex 5391 . . . . 5
2221rankss 7405 . . . 4
2320, 22ax-mp 10 . . 3
24 r1ord3 7338 . . . . . . 7
2514, 24mpan 654 . . . . . 6
2625ss2rabi 3176 . . . . 5
27 intss 3781 . . . . 5
2826, 27ax-mp 10 . . . 4
29 rankval2 7374 . . . . 5
3021, 29ax-mp 10 . . . 4
31 intmin 3780 . . . . . 6
3214, 31ax-mp 10 . . . . 5
3332eqcomi 2257 . . . 4
3428, 30, 333sstr4i 3138 . . 3
3523, 34sstri 3109 . 2
36 iunss 3841 . . 3
3711rankel 7395 . . . 4
38 rankon 7351 . . . . 5
399, 38onsucssi 4523 . . . 4
4037, 39sylib 190 . . 3
4136, 40mprgbir 2575 . 2
4235, 41eqssi 3116 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  crab 2512  cvv 2727   wss 3078  cint 3760  ciun 3803  con0 4285   csuc 4287  cfv 4592  cr1 7318  crnk 7319 This theorem is referenced by:  rankbnd  7424  rankc1  7426 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
 Copyright terms: Public domain W3C validator