Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankuni2b Unicode version

Theorem rankuni2b 7409
 Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankuni2b
StepHypRef Expression
1 uniwf 7375 . . . 4
2 rankval3b 7382 . . . 4
31, 2sylbi 189 . . 3
4 iuneq1 3816 . . . . . . 7
54eleq1d 2319 . . . . . 6
6 vex 2730 . . . . . . 7
7 rankon 7351 . . . . . . . 8
87rgenw 2572 . . . . . . 7
9 iunon 6241 . . . . . . 7
106, 8, 9mp2an 656 . . . . . 6
115, 10vtoclg 2781 . . . . 5
12 eluni2 3731 . . . . . . 7
13 nfv 1629 . . . . . . . 8
14 nfiu1 3831 . . . . . . . . 9
1514nfel2 2397 . . . . . . . 8
16 r1elssi 7361 . . . . . . . . . . 11
1716sseld 3102 . . . . . . . . . 10
18 rankelb 7380 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6 31 . . . . . . . . 9
20 ssiun2 3843 . . . . . . . . . . 11
2120sseld 3102 . . . . . . . . . 10
2221a1i 12 . . . . . . . . 9
2319, 22syldd 63 . . . . . . . 8
2413, 15, 23rexlimd 2626 . . . . . . 7
2512, 24syl5bi 210 . . . . . 6
2625ralrimiv 2587 . . . . 5
27 eleq2 2314 . . . . . . 7
2827ralbidv 2527 . . . . . 6
2928elrab 2860 . . . . 5
3011, 26, 29sylanbrc 648 . . . 4
31 intss1 3775 . . . 4
3230, 31syl 17 . . 3
333, 32eqsstrd 3133 . 2
341biimpi 188 . . . . 5
35 elssuni 3753 . . . . 5
36 rankssb 7404 . . . . 5
3734, 35, 36syl2im 36 . . . 4
3837ralrimiv 2587 . . 3
39 iunss 3841 . . 3
4038, 39sylibr 205 . 2
4133, 40eqssd 3117 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510  crab 2512  cvv 2727   wss 3078  cuni 3727  cint 3760  ciun 3803  con0 4285  cima 4583  cfv 4592  cr1 7318  crnk 7319 This theorem is referenced by:  rankuni2  7411  rankcf  8279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
 Copyright terms: Public domain W3C validator