MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Unicode version

Theorem rankon 7351
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon  |-  ( rank `  A )  e.  On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 7350 . 2  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
2 0elon 4338 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 5523 1  |-  ( rank `  A )  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621   U.cuni 3727   Oncon0 4285   "cima 4583   ` cfv 4592   R1cr1 7318   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  rankr1ai  7354  rankr1bg  7359  rankr1clem  7376  rankr1c  7377  rankpwi  7379  rankelb  7380  wfelirr  7381  rankval3b  7382  ranksnb  7383  rankr1a  7392  bndrank  7397  unbndrank  7398  rankunb  7406  rankprb  7407  rankuni2b  7409  rankuni  7419  rankuniss  7422  rankval4  7423  rankbnd2  7425  rankc1  7426  rankc2  7427  rankelun  7428  rankelpr  7429  rankelop  7430  rankxplim  7433  rankxplim3  7435  rankxpsuc  7436  tcrank  7438  scottex  7439  scott0  7440  dfac12lem2  7654  hsmexlem5  7940  r1limwun  8238  wunexALT  8243  rankcf  8279  grur1  8322  elhf2  23979  hfuni  23988  dfac11  26326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
  Copyright terms: Public domain W3C validator