Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabdiophlem1 Unicode version

Theorem rabdiophlem1 26048
Description: Lemma for arithmetic diophantine sets. Convert polynomial-ness of an expression into a constraint suitable for ralimi 2580. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabdiophlem1  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem rabdiophlem1
StepHypRef Expression
1 zex 9912 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
2 nn0ssz 9923 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
3 mapss 6696 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
41, 2, 3mp2an 656 . 2  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
5 mzpf 25980 . . 3  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
6 eqid 2253 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )
76fmpt 5533 . . 3  |-  ( A. t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) ) A  e.  ZZ  <->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
85, 7sylibr 205 . 2  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
9 ssralv 3158 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A. t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ ) )
104, 8, 9mpsyl 61 1  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727    C_ wss 3078    e. cmpt 3974   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   1c1 8618   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ...cfz 10660  mzPolycmzp 25966
This theorem is referenced by:  lerabdioph  26052  eluzrabdioph  26053  ltrabdioph  26055  nerabdioph  26056  dvdsrabdioph  26057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-mzpcl 25967  df-mzp 25968
  Copyright terms: Public domain W3C validator