Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1tr Unicode version

Theorem r1tr 7332
 Description: The cumulative hierarchy of sets is transitive. Lemma 7T of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1tr

Proof of Theorem r1tr
StepHypRef Expression
1 r1funlim 7322 . . . . . 6
21simpri 450 . . . . 5
3 limord 4344 . . . . 5
4 ordsson 4472 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 11 . . . 4
65sseli 3099 . . 3
7 fveq2 5377 . . . . . 6
8 r10 7324 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2301 . . . . 5
10 treq 4016 . . . . 5
119, 10syl 17 . . . 4
12 fveq2 5377 . . . . 5
13 treq 4016 . . . . 5
1412, 13syl 17 . . . 4
15 fveq2 5377 . . . . 5
16 treq 4016 . . . . 5
1715, 16syl 17 . . . 4
18 fveq2 5377 . . . . 5
19 treq 4016 . . . . 5
2018, 19syl 17 . . . 4
21 tr0 4021 . . . 4
22 limsuc 4531 . . . . . . . 8
232, 22ax-mp 10 . . . . . . 7
24 simpr 449 . . . . . . . . 9
25 pwtr 4120 . . . . . . . . 9
2624, 25sylib 190 . . . . . . . 8
27 r1sucg 7325 . . . . . . . . 9
28 treq 4016 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
3026, 29syl5ibrcom 215 . . . . . . 7
3123, 30syl5bir 211 . . . . . 6
32 ndmfv 5405 . . . . . . . 8
33 treq 4016 . . . . . . . 8
3432, 33syl 17 . . . . . . 7
3521, 34mpbiri 226 . . . . . 6
3631, 35pm2.61d1 153 . . . . 5
3736ex 425 . . . 4
38 triun 4023 . . . . . . . 8
39 r1limg 7327 . . . . . . . . . 10
4039ancoms 441 . . . . . . . . 9
41 treq 4016 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8
4338, 42syl5ibr 214 . . . . . . 7
4443impancom 429 . . . . . 6
45 ndmfv 5405 . . . . . . . 8
4645, 10syl 17 . . . . . . 7
4721, 46mpbiri 226 . . . . . 6
4844, 47pm2.61d1 153 . . . . 5
4948ex 425 . . . 4
5011, 14, 17, 20, 21, 37, 49tfinds 4541 . . 3
516, 50syl 17 . 2
52 ndmfv 5405 . . . 4
53 treq 4016 . . . 4
5452, 53syl 17 . . 3
5521, 54mpbiri 226 . 2
5651, 55pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509   wss 3078  c0 3362  cpw 3530  ciun 3803   wtr 4010   word 4284  con0 4285   wlim 4286   csuc 4287   cdm 4580   wfun 4586  cfv 4592  cr1 7318 This theorem is referenced by:  r1tr2  7333  r1ordg  7334  r1ord3g  7335  r1ord2  7337  r1sssuc  7339  r1pwss  7340  r1val1  7342  rankwflemb  7349  r1elwf  7352  r1elssi  7361  uniwf  7375  tcrank  7438  ackbij2lem3  7751  r1limwun  8238  tskr1om2  8270 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320
 Copyright terms: Public domain W3C validator