Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart Unicode version

Theorem quart 19989
 Description: The quartic equation, writing out all roots using square and cube root functions so that only direct substitutions remain, and we can actually claim to have a "quartic equation". Naturally, this theorem is ridiculously long (see quartfull 22857) if all the substitutions are performed. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a
quart.b
quart.c
quart.d
quart.x
quart.e
quart.p
quart.q
quart.r ; ;;
quart.u ;
quart.v ; ;
quart.w
quart.s
quart.m
quart.t
quart.t0
quart.m0
quart.i
quart.j
Assertion
Ref Expression
quart

Proof of Theorem quart
StepHypRef Expression
1 quart.a . . . 4
2 quart.b . . . 4
3 quart.c . . . 4
4 quart.d . . . 4
5 quart.p . . . 4
6 quart.q . . . 4
7 quart.r . . . 4 ; ;;
8 quart.x . . . 4
9 quart.e . . . . . 6
109oveq2d 5726 . . . . 5
11 4cn 9700 . . . . . . . 8
1211a1i 12 . . . . . . 7
13 4nn 9758 . . . . . . . . 9
1413nnne0i 9660 . . . . . . . 8
1514a1i 12 . . . . . . 7
161, 12, 15divcld 9416 . . . . . 6
178, 16subnegd 9044 . . . . 5
1810, 17eqtrd 2285 . . . 4
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18quart1 19984 . . 3
2019eqeq1d 2261 . 2
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7quart1cl 19982 . . . 4
2221simp1d 972 . . 3
2321simp2d 973 . . 3
2416negcld 9024 . . . . 5
259, 24eqeltrd 2327 . . . 4
268, 25subcld 9037 . . 3
27 quart.u . . . . 5 ;
28 quart.v . . . . 5 ; ;
29 quart.w . . . . 5
30 quart.s . . . . 5
31 quart.m . . . . 5
32 quart.t . . . . 5
33 quart.t0 . . . . 5
341, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33quartlem3 19987 . . . 4
3534simp1d 972 . . 3
3630oveq2d 5726 . . . . . 6
3734simp2d 973 . . . . . . . 8
3837sqrcld 11796 . . . . . . 7
39 2cn 9696 . . . . . . . 8
4039a1i 12 . . . . . . 7
41 2ne0 9709 . . . . . . . 8
4241a1i 12 . . . . . . 7
4338, 40, 42divcan2d 9418 . . . . . 6
4436, 43eqtrd 2285 . . . . 5
4544oveq1d 5725 . . . 4
4637sqsqrd 11798 . . . 4
4745, 46eqtr2d 2286 . . 3
48 quart.m0 . . 3
49 quart.i . . . . 5
50 quart.j . . . . 5
511, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 48, 49, 50quartlem4 19988 . . . 4
5251simp2d 973 . . 3
5349oveq1d 5725 . . . 4
5435sqcld 11121 . . . . . . . 8
5554negcld 9024 . . . . . . 7
5622halfcld 9835 . . . . . . 7
5755, 56subcld 9037 . . . . . 6
5823, 12, 15divcld 9416 . . . . . . 7
5951simp1d 972 . . . . . . 7
6058, 35, 59divcld 9416 . . . . . 6
6157, 60addcld 8734 . . . . 5
6261sqsqrd 11798 . . . 4
6353, 62eqtrd 2285 . . 3
6421simp3d 974 . . 3
65 ax-1cn 8675 . . . . . 6
6665a1i 12 . . . . 5
67 3nn 9757 . . . . . . 7
6867nnzi 9926 . . . . . 6
69 1exp 11009 . . . . . 6
7068, 69mp1i 13 . . . . 5
7134simp3d 974 . . . . . . . . . . 11
7271mulid2d 8733 . . . . . . . . . 10
7372oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
7472oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
7573, 74oveq12d 5728 . . . . . . . 8
7675oveq1d 5725 . . . . . . 7
7776negeqd 8926 . . . . . 6
7831, 77eqtr4d 2288 . . . . 5
79 oveq1 5717 . . . . . . . 8
8079eqeq1d 2261 . . . . . . 7
81 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . 12
8281oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
8381oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
8482, 83oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
8584oveq1d 5725 . . . . . . . . 9
8685negeqd 8926 . . . . . . . 8
8786eqeq2d 2264 . . . . . . 7
8880, 87anbi12d 694 . . . . . 6
8988rcla4ev 2821 . . . . 5
9066, 70, 78, 89syl12anc 1185 . . . 4
91 mulcl 8701 . . . . . 6
9239, 22, 91sylancr 647 . . . . 5
9322sqcld 11121 . . . . . 6
94 mulcl 8701 . . . . . . 7
9511, 64, 94sylancr 647 . . . . . 6
9693, 95subcld 9037 . . . . 5
9723sqcld 11121 . . . . . 6
9897negcld 9024 . . . . 5
9932oveq1d 5725 . . . . . 6
1001, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 27, 28, 29quartlem2 19986 . . . . . . . . . 10
101100simp2d 973 . . . . . . . . 9
102100simp3d 974 . . . . . . . . 9
103101, 102addcld 8734 . . . . . . . 8
104103halfcld 9835 . . . . . . 7
105 cxproot 19905 . . . . . . 7
106104, 67, 105sylancl 646 . . . . . 6
10799, 106eqtrd 2285 . . . . 5
10829oveq1d 5725 . . . . . 6
109101sqcld 11121 . . . . . . . 8
110100simp1d 972 . . . . . . . . . 10
111 3nn0 9862 . . . . . . . . . 10
112 expcl 10999 . . . . . . . . . 10
113110, 111, 112sylancl 646 . . . . . . . . 9
114 mulcl 8701 . . . . . . . . 9
11511, 113, 114sylancr 647 . . . . . . . 8
116109, 115subcld 9037 . . . . . . 7
117116sqsqrd 11798 . . . . . 6
118108, 117eqtrd 2285 . . . . 5
11922, 23, 64, 27, 28quartlem1 19985 . . . . . 6 ;
120119simpld 447 . . . . 5
121119simprd 451 . . . . 5 ;
12292, 96, 98, 37, 71, 107, 102, 118, 120, 121, 33mcubic 19975 . . . 4
12390, 122mpbird 225 . . 3
12451simp3d 974 . . 3
12550oveq1d 5725 . . . 4
12657, 60subcld 9037 . . . . 5
127126sqsqrd 11798 . . . 4
128125, 127eqtrd 2285 . . 3
12922, 23, 26, 35, 47, 48, 52, 63, 64, 123, 124, 128dquart 19981 . 2
13035negcld 9024 . . . . . . . 8
131130, 52addcld 8734 . . . . . . 7
1328, 25, 131subaddd 9055 . . . . . 6
13325, 35negsubd 9043 . . . . . . . . 9
134133oveq1d 5725 . . . . . . . 8
13525, 130, 52addassd 8737 . . . . . . . 8
136134, 135eqtr3d 2287 . . . . . . 7
137136eqeq1d 2261 . . . . . 6
138132, 137bitr4d 249 . . . . 5
139 eqcom 2255 . . . . 5
140138, 139syl6bb 254 . . . 4
141130, 52subcld 9037 . . . . . . 7
1428, 25, 141subaddd 9055 . . . . . 6
143133oveq1d 5725 . . . . . . . 8
14425, 130, 52addsubassd 9057 . . . . . . . 8
145143, 144eqtr3d 2287 . . . . . . 7
146145eqeq1d 2261 . . . . . 6
147142, 146bitr4d 249 . . . . 5
148 eqcom 2255 . . . . 5
149147, 148syl6bb 254 . . . 4
150140, 149orbi12d 693 . . 3
15135, 124addcld 8734 . . . . . . 7
1528, 25, 151subaddd 9055 . . . . . 6
15325, 35, 124addassd 8737 . . . . . . 7
154153eqeq1d 2261 . . . . . 6
155152, 154bitr4d 249 . . . . 5
156 eqcom 2255 . . . . 5
157155, 156syl6bb 254 . . . 4
15835, 124subcld 9037 . . . . . . 7
1598, 25, 158subaddd 9055 . . . . . 6
16025, 35, 124addsubassd 9057 . . . . . . 7
161160eqeq1d 2261 . . . . . 6
162159, 161bitr4d 249 . . . . 5
163 eqcom 2255 . . . . 5
164162, 163syl6bb 254 . . . 4
165157, 164orbi12d 693 . . 3
166150, 165orbi12d 693 . 2
16720, 129, 1663bitrd 272 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wrex 2510  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cmin 8917  cneg 8918   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  c3 9676  c4 9677  c5 9678  c6 9679  c7 9680  c8 9681  c9 9682  cn0 9844  cz 9903  ;cdc 10003  cexp 10982  csqr 11595   ccxp 19745 This theorem is referenced by:  quartfull  22857 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747
 Copyright terms: Public domain W3C validator