MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12366
Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set  ( ZZ  X.  NN ) is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen  |-  QQ  ~~  NN

Proof of Theorem qnnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7231 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 nnenom 10920 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
32ensymi 6797 . . . . . . 7  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7463 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 656 . . . . . 6  |-  NN  e.  dom  card
6 znnen 12365 . . . . . . 7  |-  ZZ  ~~  NN
7 ennum 7464 . . . . . . 7  |-  ( ZZ 
~~  NN  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card ) )
86, 7ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  NN  e.  dom  card )
95, 8mpbir 202 . . . . 5  |-  ZZ  e.  dom  card
10 xpnum 7468 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card )
119, 5, 10mp2an 656 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  e. 
dom  card
12 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )
13 ovex 5735 . . . . . 6  |-  ( x  /  y )  e. 
_V
1412, 13fnmpt2i 6045 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )
1512rnmpt2 5806 . . . . . 6  |-  ran  (  x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
16 elq 10197 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) )
1716abbi2i 2360 . . . . . 6  |-  QQ  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  z  =  ( x  /  y ) }
1815, 17eqtr4i 2276 . . . . 5  |-  ran  (  x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) )  =  QQ
19 df-fo 4606 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ , 
y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ 
X.  NN ) -onto-> QQ  <->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) )  Fn  ( ZZ  X.  NN )  /\  ran  (  x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  / 
y ) )  =  QQ ) )
2014, 18, 19mpbir2an 891 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y ) ) : ( ZZ  X.  NN ) -onto-> QQ
21 fodomnum 7568 . . . 4  |-  ( ( ZZ  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN  |->  ( x  /  y
) ) : ( ZZ  X.  NN )
-onto-> QQ  ->  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN ) ) )
2211, 20, 21mp2 19 . . 3  |-  QQ  ~<_  ( ZZ 
X.  NN )
23 nnex 9632 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2423enref 6780 . . . . 5  |-  NN  ~~  NN
25 xpen 6909 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN  ~~  NN )  -> 
( ZZ  X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
266, 24, 25mp2an 656 . . . 4  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  ( NN  X.  NN )
27 xpnnen 12361 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
2826, 27entri 6800 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  ~~  NN
29 domentr 6805 . . 3  |-  ( ( QQ  ~<_  ( ZZ  X.  NN )  /\  ( ZZ  X.  NN )  ~~  NN )  ->  QQ  ~<_  NN )
3022, 28, 29mp2an 656 . 2  |-  QQ  ~<_  NN
31 qex 10207 . . 3  |-  QQ  e.  _V
32 nnssq 10204 . . 3  |-  NN  C_  QQ
33 ssdomg 6793 . . 3  |-  ( QQ  e.  _V  ->  ( NN  C_  QQ  ->  NN  ~<_  QQ ) )
3431, 32, 33mp2 19 . 2  |-  NN  ~<_  QQ
35 sbth 6866 . 2  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  QQ )  ->  QQ  ~~  NN )
3630, 34, 35mp2an 656 1  |-  QQ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   Oncon0 4285   omcom 4547    X. cxp 4578   dom cdm 4580   ran crn 4581    Fn wfn 4587   -onto->wfo 4590  (class class class)co 5710    e. cmpt2 5712    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747   cardccrd 7452    / cdiv 9303   NNcn 9626   ZZcz 9903   QQcq 10195
This theorem is referenced by:  rpnnen  12379  resdomq  12396  re2ndc  18139  ovolq  18682  opnmblALT  18790  vitali  18800  mbfimaopnlem  18842  mbfaddlem  18847  irrapx1  26079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196
  Copyright terms: Public domain W3C validator