Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 12366
 Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen

Proof of Theorem qnnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7231 . . . . . . 7
2 nnenom 10920 . . . . . . . 8
32ensymi 6797 . . . . . . 7
4 isnumi 7463 . . . . . . 7
51, 3, 4mp2an 656 . . . . . 6
6 znnen 12365 . . . . . . 7
7 ennum 7464 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 10 . . . . . 6
95, 8mpbir 202 . . . . 5
10 xpnum 7468 . . . . 5
119, 5, 10mp2an 656 . . . 4
12 eqid 2253 . . . . . 6
13 ovex 5735 . . . . . 6
1412, 13fnmpt2i 6045 . . . . 5
1512rnmpt2 5806 . . . . . 6
16 elq 10197 . . . . . . 7
1716abbi2i 2360 . . . . . 6
1815, 17eqtr4i 2276 . . . . 5
19 df-fo 4606 . . . . 5
2014, 18, 19mpbir2an 891 . . . 4
21 fodomnum 7568 . . . 4
2211, 20, 21mp2 19 . . 3
23 nnex 9632 . . . . . 6
2423enref 6780 . . . . 5
25 xpen 6909 . . . . 5
266, 24, 25mp2an 656 . . . 4
27 xpnnen 12361 . . . 4
2826, 27entri 6800 . . 3
29 domentr 6805 . . 3
3022, 28, 29mp2an 656 . 2
31 qex 10207 . . 3
32 nnssq 10204 . . 3
33 ssdomg 6793 . . 3
3431, 32, 33mp2 19 . 2
35 sbth 6866 . 2
3630, 34, 35mp2an 656 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239  wrex 2510  cvv 2727   wss 3078   class class class wbr 3920  con0 4285  com 4547   cxp 4578   cdm 4580   crn 4581   wfn 4587  wfo 4590  (class class class)co 5710   cmpt2 5712   cen 6746   cdom 6747  ccrd 7452   cdiv 9303  cn 9626  cz 9903  cq 10195 This theorem is referenced by:  rpnnen  12379  resdomq  12396  re2ndc  18139  ovolq  18682  opnmblALT  18790  vitali  18800  mbfimaopnlem  18842  mbfaddlem  18847  irrapx1  26079 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196
 Copyright terms: Public domain W3C validator