Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtrip Unicode version

Theorem pythagtrip 12761
 Description: Parameterize the Pythagorean triples. If , , and are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 12672 . . . . . . 7
213adant3 980 . . . . . 6
32adantr 453 . . . . 5
4 pythagtriplem19 12760 . . . . . . 7
543expia 1158 . . . . . 6
6 simp12 991 . . . . . . . 8
7 simp11 990 . . . . . . . 8
8 simp13 992 . . . . . . . 8
9 nnsqcl 11051 . . . . . . . . . . . . . 14
109nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . 13
11103ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12
12 nnsqcl 11051 . . . . . . . . . . . . . 14
1312nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . 13
14133ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14addcomd 8894 . . . . . . . . . . 11
1615eqeq1d 2261 . . . . . . . . . 10
1716biimpa 472 . . . . . . . . 9
18173adant3 980 . . . . . . . 8
19 nnz 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15
20193ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . 14
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
22 nnz 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15
23223ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . . . 14
2423adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
25 gcdcom 12573 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 24, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
2827breq2d 3932 . . . . . . . . . 10
2928notbid 287 . . . . . . . . 9
3029biimp3a 1286 . . . . . . . 8
31 pythagtriplem19 12760 . . . . . . . 8
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1201 . . . . . . 7
33323expia 1158 . . . . . 6
345, 33orim12d 814 . . . . 5
353, 34mpd 16 . . . 4
36 ovex 5735 . . . . . . . . . . 11
37 ovex 5735 . . . . . . . . . . 11
38 preq12bg 3691 . . . . . . . . . . 11
3936, 37, 38mpanr12 669 . . . . . . . . . 10
4039anbi1d 688 . . . . . . . . 9
4140rexbidv 2528 . . . . . . . 8
42412rexbidv 2548 . . . . . . 7
43 andir 843 . . . . . . . . . . 11
44 df-3an 941 . . . . . . . . . . . 12
45 df-3an 941 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45orbi12i 509 . . . . . . . . . . 11
47 3ancoma 946 . . . . . . . . . . . 12
4847orbi2i 507 . . . . . . . . . . 11
4943, 46, 483bitr2i 266 . . . . . . . . . 10
5049rexbii 2532 . . . . . . . . 9
51502rexbii 2534 . . . . . . . 8
52 r19.43 2657 . . . . . . . . . 10
53522rexbii 2534 . . . . . . . . 9
54 r19.43 2657 . . . . . . . . . . 11
5554rexbii 2532 . . . . . . . . . 10
56 r19.43 2657 . . . . . . . . . 10
5755, 56bitri 242 . . . . . . . . 9
5853, 57bitri 242 . . . . . . . 8
5951, 58bitri 242 . . . . . . 7
6042, 59syl6bb 254 . . . . . 6
61603adant3 980 . . . . 5
6261adantr 453 . . . 4
6335, 62mpbird 225 . . 3
6463ex 425 . 2
65 pythagtriplem2 12744 . . 3
66653adant3 980 . 2
6764, 66impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510  cvv 2727  cpr 3545   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710  cc 8615   caddc 8620   cmul 8622   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  cz 9903  cexp 10982   cdivides 12405   cgcd 12559 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633
 Copyright terms: Public domain W3C validator