MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Unicode version

Theorem pwen 6919
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen  |-  ( A 
~~  B  ->  ~P A  ~~  ~P B )

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 6754 . . . 4  |-  Rel  ~~
21brrelexi 4636 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  A  e.  _V )
3 pw2eng 6853 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P A  ~~  ( 2o  ^m  A ) )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ~P A  ~~  ( 2o  ^m  A ) )
5 2onn 6524 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
65elexi 2736 . . . . 5  |-  2o  e.  _V
76enref 6780 . . . 4  |-  2o  ~~  2o
8 mapen 6910 . . . 4  |-  ( ( 2o  ~~  2o  /\  A  ~~  B )  -> 
( 2o  ^m  A
)  ~~  ( 2o  ^m  B ) )
97, 8mpan 654 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( 2o  ^m  A )  ~~  ( 2o  ^m  B ) )
101brrelex2i 4637 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  e.  _V )
11 pw2eng 6853 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ~P B  ~~  ( 2o  ^m  B ) )
12 ensym 6796 . . . 4  |-  ( ~P B  ~~  ( 2o 
^m  B )  -> 
( 2o  ^m  B
)  ~~  ~P B
)
1310, 11, 123syl 20 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  ( 2o  ^m  B )  ~~  ~P B )
14 entr 6798 . . 3  |-  ( ( ( 2o  ^m  A
)  ~~  ( 2o  ^m  B )  /\  ( 2o  ^m  B )  ~~  ~P B )  ->  ( 2o  ^m  A )  ~~  ~P B )
159, 13, 14syl2anc 645 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( 2o  ^m  A )  ~~  ~P B )
16 entr 6798 . 2  |-  ( ( ~P A  ~~  ( 2o  ^m  A )  /\  ( 2o  ^m  A ) 
~~  ~P B )  ->  ~P A  ~~  ~P B
)
174, 15, 16syl2anc 645 1  |-  ( A 
~~  B  ->  ~P A  ~~  ~P B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   ~Pcpw 3530   class class class wbr 3920   omcom 4547  (class class class)co 5710   2oc2o 6359    ^m cmap 6658    ~~ cen 6746
This theorem is referenced by:  pwfi  7035  dfac12k  7657  pwcdaidm  7705  pwsdompw  7714  ackbij2lem2  7750  engch  8130  gchdomtri  8131  canthp1lem1  8154  gchcdaidm  8170  gchxpidm  8171  gchhar  8173  gchpwdom  8176  inar1  8277  rexpen  12380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-1o 6365  df-2o 6366  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750
  Copyright terms: Public domain W3C validator