Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pw2f1o Unicode version

Theorem pw2f1o 6852
 Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with an unordered pair base of ordinal 2. Generalized from Proposition 10.44 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2f1o.1
pw2f1o.2
pw2f1o.3
pw2f1o.4
pw2f1o.5
Assertion
Ref Expression
pw2f1o
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem pw2f1o
StepHypRef Expression
1 pw2f1o.5 . 2
2 eqid 2253 . . . 4
3 pw2f1o.1 . . . . . 6
4 pw2f1o.2 . . . . . 6
5 pw2f1o.3 . . . . . 6
6 pw2f1o.4 . . . . . 6
73, 4, 5, 6pw2f1olem 6851 . . . . 5
87biimpa 472 . . . 4
92, 8mpanr2 668 . . 3
109simpld 447 . 2
11 vex 2730 . . . 4
1211cnvex 5115 . . 3
13 imaexg 4933 . . 3
1412, 13mp1i 13 . 2
153, 4, 5, 6pw2f1olem 6851 . 2
161, 10, 14, 15f1od 5919 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  cvv 2727  cif 3470  cpw 3530  csn 3544  cpr 3545   cmpt 3974  ccnv 4579  cima 4583  wf1o 4591  (class class class)co 5710   cmap 6658 This theorem is referenced by:  pw2eng  6853 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660
 Copyright terms: Public domain W3C validator