MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Unicode version

Theorem prub 8498
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2313 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( B  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpcd 217 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A ) )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A
) )
4 prcdnq 8497 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  A )
)
53, 4jaod 371 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( ( B  =  C  \/  C  <Q  B )  ->  C  e.  A ) )
65con3d 127 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
76adantr 453 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
8 elprnq 8495 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  Q. )
9 ltsonq 8473 . . . 4  |-  <Q  Or  Q.
10 sotric 4233 . . . 4  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. ) )  -> 
( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
119, 10mpan 654 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
128, 11sylan 459 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
137, 12sylibrd 227 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920    Or wor 4206   Q.cnq 8354    <Q cltq 8360   P.cnp 8361
This theorem is referenced by:  genpnnp  8509  psslinpr  8535  ltexprlem6  8545  ltexprlem7  8546  prlem936  8551  reclem4pr  8554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-mi 8378  df-lti 8379  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-ltnq 8422  df-np 8485
  Copyright terms: Public domain W3C validator