MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prss Unicode version

Theorem prss 3669
Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
prss.1  |-  A  e. 
_V
prss.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prss  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )

Proof of Theorem prss
StepHypRef Expression
1 unss 3259 . 2  |-  ( ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C )  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
2 prss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32snss 3652 . . 3  |-  ( A  e.  C  <->  { A }  C_  C )
4 prss.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
54snss 3652 . . 3  |-  ( B  e.  C  <->  { B }  C_  C )
63, 5anbi12i 681 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C ) )
7 df-pr 3551 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
87sseq1i 3123 . 2  |-  ( { A ,  B }  C_  C  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
91, 6, 83bitr4i 270 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    u. cun 3076    C_ wss 3078   {csn 3544   {cpr 3545
This theorem is referenced by:  tpss  3679  prsspw  3685  uniintsn  3797  pwssun  4192  xpsspwOLD  4705  dffv2  5444  fiint  7018  wunex2  8240  hashfun  11266  prdsle  13235  prdsless  13236  prdsleval  13250  pwsle  13265  acsfn2  13409  clatl  14064  ipoval  14101  ipolerval  14103  eqgfval  14500  eqgval  14501  gaorb  14596  efgcpbllema  14898  frgpuplem  14916  drngnidl  15813  drnglpir  15837  ltbval  16045  ltbwe  16046  opsrle  16049  opsrtoslem1  16057  thlle  16429  isphtpc  18324  shincli  21771  chincli  21869  altxpsspw  23685  axlowdimlem4  23747  toplat  24456  pgapspf2  25219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-v 2729  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-sn 3550  df-pr 3551
  Copyright terms: Public domain W3C validator