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Theorem prmpwdvds 12825
Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmpwdvds  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D )

Proof of Theorem prmpwdvds
StepHypRef Expression
1 simpll 733 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ 1 ) )
32oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ 1 ) ) )
43breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ 1 ) ) ) )
5 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
65oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )
76oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )
87breq2d 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
98notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) )
104, 9anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) ) ) )
112breq1d 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ 1 )  ||  D ) )
1210, 11imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) )
1312ralbidv 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) )
1413imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) ) ) )
15 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ n
) )
1615oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
1716breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
18 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1918oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )
2019oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
2120breq2d 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
2221notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
2317, 22anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
2415breq1d 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ n )  ||  D ) )
2523, 24imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
2625ralbidv 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
2726imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) ) )
28 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )
2928oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
3029breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
31 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
3231oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
3332oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
3433breq2d 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
3534notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
3630, 35anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
3728breq1d 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) )
3836, 37imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
3938ralbidv 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
4039imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) ) )
41 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ N
) )
4241oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
k  x.  ( P ^ x ) )  =  ( k  x.  ( P ^ N
) ) )
4342breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ N ) ) ) )
44 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
4544oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( P ^ ( x  - 
1 ) )  =  ( P ^ ( N  -  1 ) ) )
4645oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )
4746breq2d 3932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4847notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( x  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
4943, 48anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
5041breq1d 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( P ^ x
)  ||  D  <->  ( P ^ N )  ||  D
) )
5149, 50imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) )
5251ralbidv 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ x ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ x )  ||  D )  <->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) )
5352imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ x
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
x  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ x
)  ||  D )
)  <->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
) ) )
54 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  (
x  ||  ( k  x.  P )  <->  D  ||  (
k  x.  P ) ) )
55 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  D  ->  (
x  ||  k  <->  D  ||  k
) )
5655notbid 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  ( -.  x  ||  k  <->  -.  D  ||  k ) )
5754, 56anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  ||  (
k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  <->  ( D  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  D  ||  k ) ) )
58 breq2 3924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  D
) )
5957, 58imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( x  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) )
6059imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( x 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )  <-> 
( ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) ) )
61 simplrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  P  e.  Prime )
62 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  x  e.  ZZ )
63 coprm 12653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  x  <->  ( P  gcd  x )  =  1 ) )
6461, 62, 63syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  P  ||  x  <->  ( P  gcd  x )  =  1 ) )
65 zcn 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
6665ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
67 prmz 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
6867ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
6968zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
7066, 69mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  P )  =  ( P  x.  k ) )
7170breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( x  ||  ( k  x.  P
)  <->  x  ||  ( P  x.  k ) ) )
72 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
73 gcdcom 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  x
)  =  ( x  gcd  P ) )
7468, 72, 73syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  gcd  x )  =  ( x  gcd  P ) )
7574eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  gcd  x )  =  1  <->  ( x  gcd  P )  =  1 ) )
7671, 75anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  ( P  gcd  x )  =  1 )  <->  ( x  ||  ( P  x.  k
)  /\  ( x  gcd  P )  =  1 ) ) )
77 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
78 coprmdvds 12655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( x  ||  ( P  x.  k )  /\  ( x  gcd  P
)  =  1 )  ->  x  ||  k
) )
7972, 68, 77, 78syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( P  x.  k )  /\  (
x  gcd  P )  =  1 )  ->  x  ||  k ) )
8076, 79sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  ( P  gcd  x )  =  1 )  ->  x  ||  k ) )
8180expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  (
( P  gcd  x
)  =  1  ->  x  ||  k ) )
8264, 81sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  P  ||  x  ->  x  ||  k ) )
8382con1d 118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  ||  ( k  x.  P
) )  ->  ( -.  x  ||  k  ->  P  ||  x ) )
8483expimpd 589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  ||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )
8584ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( x 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) ) )
8660, 85vtoclga 2787 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) ) )
8786impl 606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  P )  /\  -.  D  ||  k )  ->  P  ||  D ) )
8867zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
8988exp1d 11118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
9089ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
1 )  =  P )
9190oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  =  ( k  x.  P ) )
9291breq2d 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  <-> 
D  ||  ( k  x.  P ) ) )
93 1m1e0 9694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  1 )  =  0
9493oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( P ^ 0 )
9567ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
9695zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  CC )
9796exp0d 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
0 )  =  1 )
9894, 97syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
( 1  -  1 ) )  =  1 )
9998oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )  =  ( k  x.  1 ) )
10065adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
101100mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
10299, 101eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) )  =  k )
103102breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) )  <-> 
D  ||  k )
)
104103notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  k ) )
10592, 104anbi12d 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  D  ||  k ) ) )
10696exp1d 11118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P ^
1 )  =  P )
107106breq1d 3930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ 1 )  ||  D 
<->  P  ||  D ) )
10887, 105, 1073imtr4d 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
1  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ 1 )  ||  D ) )
109108ralrimiva 2588 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ 1 ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( 1  -  1 ) ) ) )  ->  ( P ^ 1 )  ||  D ) )
110 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  x.  ( P ^ n ) )  =  ( x  x.  ( P ^ n
) ) )
111110breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
112 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
113112breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
114113notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
115111, 114anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
116115imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
117116cbvralv 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  A. x  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
)
118 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
11967ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
120118, 119zmulcld 10002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  P )  e.  ZZ )
121 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) ) )
122121breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) ) ) )
123 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )
124123breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
125124notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  ( -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
126122, 125anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
( D  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
127126imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  x.  P )  ->  (
( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
128127rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  P )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D ) ) )
129120, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D ) ) )
130 nnnn0 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
131130ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN0 )
132 zexpcl 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  e.  ZZ )
133119, 131, 132syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  ZZ )
134 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  ZZ )
135 divides 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^
n )  ||  D  <->  E. x  e.  ZZ  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  D ) )
136133, 134, 135syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  ||  D  <->  E. x  e.  ZZ  ( x  x.  ( P ^ n
) )  =  D ) )
13784adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  ||  (
k  x.  P )  /\  -.  x  ||  k )  ->  P  ||  x ) )
138 prmnn 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
139138ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  NN )
140139nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
141130ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN0 )
142140, 141expp1d 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( ( P ^
n )  x.  P
) )
143139, 141nnexpcld 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  NN )
144143nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  CC )
145144, 140mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  x.  P )  =  ( P  x.  ( P ^ n ) ) )
146142, 145eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( P  x.  ( P ^ n ) ) )
147146oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
14865ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
149148, 140, 144mulassd 8738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
150147, 149eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) ) )
151150breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) ) ) )
152 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
153 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
154139nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
155153, 154zmulcld 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  P )  e.  ZZ )
156143nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  ZZ )
157143nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  =/=  0 )
158 dvdsmulcr 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( P ^
n )  e.  ZZ  /\  ( P ^ n
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
159152, 155, 156, 157, 158syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
160151, 159bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  x  ||  (
k  x.  P ) ) )
161 dvdsmulcr 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  (
( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ n )  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) )  <-> 
x  ||  k )
)
162152, 153, 156, 157, 161syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  x  ||  k
) )
163162notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  ( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  -.  x  ||  k ) )
164160, 163anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( x  ||  ( k  x.  P
)  /\  -.  x  ||  k ) ) )
165146breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  ( P  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
166 dvdsmulcr 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  (
( P ^ n
)  e.  ZZ  /\  ( P ^ n )  =/=  0 ) )  ->  ( ( P  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  <-> 
P  ||  x )
)
167154, 152, 156, 157, 166syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  <->  P  ||  x
) )
168165, 167bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  P  ||  x
) )
169137, 164, 1683imtr4d 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
170169an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) ) )
171 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
172 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
173172notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  ( -.  ( x  x.  ( P ^ n ) ) 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
174171, 173anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( ( x  x.  ( P ^ n
) )  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
175 breq2 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^
n ) )  <->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) )
176174, 175imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( ( ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  ( x  x.  ( P ^
n ) )  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) ) )  <->  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
177170, 176syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
178177rexlimdva 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( P  e.  Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
179178adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  ( x  x.  ( P ^ n ) )  =  D  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
180136, 179sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( P ^ n
)  ||  D  ->  ( ( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
181180com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( ( P ^ n )  ||  D  ->  ( P ^
( n  +  1 ) )  ||  D
) ) )
182181a2d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
18365ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
184119zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
185133zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  e.  CC )
186183, 184, 185mulassd 8738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ n ) ) ) )
187184, 185mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ n ) )  =  ( ( P ^ n )  x.  P ) )
188184, 131expp1d 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  =  ( ( P ^
n )  x.  P
) )
189187, 188eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ n ) )  =  ( P ^
( n  +  1 ) ) )
190189oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P  x.  ( P ^
n ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
191186, 190eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  =  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) ) )
192191breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n
) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) ) ) )
193 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
194193ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
195 zexpcl 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( n  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( P ^ (
n  -  1 ) )  e.  ZZ )
196119, 194, 195syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  - 
1 ) )  e.  ZZ )
197196zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
198183, 184, 197mulassd 8738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) ) )
199184, 197mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( P ^ ( n  - 
1 ) )  x.  P ) )
200 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  NN )
201 expm1t 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( P ^ n
)  =  ( ( P ^ ( n  -  1 ) )  x.  P ) )
202184, 200, 201syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ n )  =  ( ( P ^
( n  -  1 ) )  x.  P
) )
203199, 202eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( P ^
n ) )
204203oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
205198, 204eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
206205breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
207206notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^
( n  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
208192, 207anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
( k  x.  P
)  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
209208imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
) )
210 nncn 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
211210ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
212 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
213 pncan 8937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
214211, 212, 213sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( n  +  1 )  -  1 )  =  n )
215214oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( P ^ n
) )
216215oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )
217216breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  <->  D  ||  (
k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
218217notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) )
219218anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n ) ) ) ) )
220219imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D )  <->  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ n
) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) )
221182, 209, 2203imtr4d 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( ( k  x.  P )  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
222129, 221syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
223222anassrs 632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( x  x.  ( P ^ n ) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ ( n  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ n )  ||  D )  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
224223ralrimdva 2595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( x  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( x  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
225117, 224syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  D  e.  ZZ )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) )
226225expl 604 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( n  + 
1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ ( n  + 
1 ) )  ||  D ) ) ) )
227226a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( D  e.  ZZ  /\  P  e. 
Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ n
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
n  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ n
)  ||  D )
)  ->  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ (
n  +  1 ) ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ (
n  +  1 ) )  ||  D ) ) ) )
22814, 27, 40, 53, 109, 227nnind 9644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
229228com12 29 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  NN  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
230229impr 605 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
)
231230adantll 697 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  A. k  e.  ZZ  ( ( D 
||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( P ^ N
)  ||  D )
)
232 oveq1 5717 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
k  x.  ( P ^ N ) )  =  ( K  x.  ( P ^ N ) ) )
233232breq2d 3932 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N
) )  <->  D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) ) ) )
234 oveq1 5717 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( K  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) ) )
235234breq2d 3932 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  -  1 ) ) )  <->  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
236235notbid 287 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^
( N  -  1 ) ) )  <->  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
237233, 236anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( D  ||  (
k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  <->  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) ) )
238237imbi1d 310 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
)  <->  ( ( D 
||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
239238rcla4v 2817 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  ZZ  ( ( D  ||  ( k  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( k  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
)  ->  ( ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) ) )
2401, 231, 239sylc 58 . 2  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN ) )  ->  (
( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^
( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D
) )
2412403impia 1153 1  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( P  e. 
Prime  /\  N  e.  NN )  /\  ( D  ||  ( K  x.  ( P ^ N ) )  /\  -.  D  ||  ( K  x.  ( P ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )  ->  ( P ^ N )  ||  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ^cexp 10982    || cdivides 12405    gcd cgcd 12559   Primecprime 12632
This theorem is referenced by:  pockthlem  12826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633
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