Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Unicode version

Theorem pntlema 20577
 Description: Lemma for pnt 20595. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for . For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, is x2, is x1, is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ψ
pntlem1.a
pntlem1.b
pntlem1.l
pntlem1.d
pntlem1.f ;
pntlem1.u
pntlem1.u2
pntlem1.e
pntlem1.k
pntlem1.y
pntlem1.x
pntlem1.c
pntlem1.w ;
Assertion
Ref Expression
pntlema
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 ;
2 pntlem1.y . . . . . 6
32simpld 447 . . . . 5
4 4nn 9758 . . . . . . 7
5 nnrp 10242 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 10 . . . . . 6
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 ψ
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 ;
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 20575 . . . . . . . 8
1413simp1d 972 . . . . . . 7
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 20576 . . . . . . . 8
2019simp1d 972 . . . . . . 7
2114, 20rpmulcld 10285 . . . . . 6
22 rpdivcl 10255 . . . . . 6
236, 21, 22sylancr 647 . . . . 5
243, 23rpaddcld 10284 . . . 4
25 2z 9933 . . . 4
26 rpexpcl 11000 . . . 4
2724, 25, 26sylancl 646 . . 3
28 pntlem1.x . . . . . . 7
2928simpld 447 . . . . . 6
3019simp2d 973 . . . . . . 7
31 rpexpcl 11000 . . . . . . 7
3230, 25, 31sylancl 646 . . . . . 6
3329, 32rpmulcld 10285 . . . . 5
344nnzi 9926 . . . . 5
35 rpexpcl 11000 . . . . 5
3633, 34, 35sylancl 646 . . . 4
37 3nn0 9862 . . . . . . . . . . 11
38 2nn 9756 . . . . . . . . . . 11
3937, 38decnncl 10016 . . . . . . . . . 10 ;
40 nnrp 10242 . . . . . . . . . 10 ; ;
4139, 40ax-mp 10 . . . . . . . . 9 ;
42 rpmulcl 10254 . . . . . . . . 9 ; ;
4341, 9, 42sylancr 647 . . . . . . . 8 ;
4419simp3d 974 . . . . . . . . . 10
4544simp3d 974 . . . . . . . . 9
46 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . 11
4720, 25, 46sylancl 646 . . . . . . . . . 10
4814, 47rpmulcld 10285 . . . . . . . . 9
4945, 48rpmulcld 10285 . . . . . . . 8
5043, 49rpdivcld 10286 . . . . . . 7 ;
51 3nn 9757 . . . . . . . . . 10
52 nnrp 10242 . . . . . . . . . 10
5351, 52ax-mp 10 . . . . . . . . 9
54 rpmulcl 10254 . . . . . . . . 9
5515, 53, 54sylancl 646 . . . . . . . 8
56 pntlem1.c . . . . . . . 8
5755, 56rpaddcld 10284 . . . . . . 7
5850, 57rpmulcld 10285 . . . . . 6 ;
5958rpred 10269 . . . . 5 ;
6059rpefcld 12259 . . . 4 ;
6136, 60rpaddcld 10284 . . 3 ;
6227, 61rpaddcld 10284 . 2 ;
631, 62syl5eqel 2337 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3920   cmpt 3974  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  c3 9676  c4 9677  cz 9903  ;cdc 10003  crp 10233  cioo 10534  cexp 10982  ce 12217  ψcchp 20162 This theorem is referenced by:  pntlemb  20578  pntleme  20589 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223
 Copyright terms: Public domain W3C validator