MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt2 Unicode version

Theorem pnt2 20594
Description: The Prime Number Theorem, version 2: the first Chebyshev function tends asymptotically to  x. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem pnt2
StepHypRef Expression
1 2re 9695 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 10617 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chprpcl 20278 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR+ )
63simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7 0re 8718 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
91a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
10 2pos 9708 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
1110a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
123simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
138, 9, 6, 11, 12ltletrd 8856 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
146, 13elrpd 10267 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
155, 14rpdivcld 10286 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
1615adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR+ )
17 chtrpcl 20245 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
183, 17sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
195, 18rpdivcld 10286 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2019adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  RR+ )
2114ssriv 3105 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
2221a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
23 pnt3 20593 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  ~~> r  1
2423a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  ~~> r  1 )
2522, 24rlimres2 11912 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
26 chpchtlim 20460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
2726a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1 )
28 ax-1ne0 8686 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
2928a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  =/=  0
)
3020rpne0d 10274 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  =/=  0
)
3116, 20, 25, 27, 29, 30rlimdiv 11996 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  ~~> r  ( 1  /  1 ) )
32 rpre 10239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
33 chpcl 20194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
3534recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3614, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
3714rpcnne0d 10278 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
385rpcnne0d 10278 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )
3918rpcnne0d 10278 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
40 divdivdiv 9341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
)  /\  ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  /  x
)  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
4136, 37, 38, 39, 40syl22anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x )
)  /  ( x  x.  (ψ `  x
) ) ) )
426recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
4342, 36mulcomd 8736 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  x.  (ψ `  x ) )  =  ( (ψ `  x
)  x.  x ) )
4443oveq2d 5726 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( x  x.  (ψ `  x ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( theta `  x ) )  /  ( (ψ `  x )  x.  x
) ) )
45 chtcl 20179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4632, 45syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4746recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
4814, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  CC )
49 divcan5 9342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
(ψ `  x )  e.  CC  /\  (ψ `  x )  =/=  0
) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5048, 37, 38, 49syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( theta `  x ) )  / 
( (ψ `  x
)  x.  x ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5141, 44, 503eqtrd 2289 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  /  x )  /  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5251mpteq2ia 3999 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )
53 resmpt 4907 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
5421, 53ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )
5552, 54eqtr4i 2276 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  /  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) )  =  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  |`  ( 2 [,)  +oo ) )
56 ax-1cn 8675 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5756div1i 9368 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5831, 55, 573brtr3g 3951 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 )
59 rerpdivcl 10260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( theta `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6046, 59mpancom 653 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6160adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  RR )
6261recnd 8741 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  CC )
63 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )
6462, 63fmptd 5536 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) ) : RR+ --> CC )
65 rpssre 10243 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
671a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
6864, 66, 67rlimresb 11916 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  ~~> r  1  <-> 
( ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  ~~> r  1 ) )
6958, 68mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  ~~> r  1 )
7069trud 1320 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    |` cres 4582   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    +oocpnf 8744    < clt 8747    <_ cle 8748    / cdiv 9303   2c2 9675   RR+crp 10233   [,)cico 10536    ~~> r crli 11836   thetaccht 20160  ψcchp 20162
This theorem is referenced by:  pnt  20595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169  df-mu 20170
  Copyright terms: Public domain W3C validator