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Theorem pjhthlem1 21800
 Description: Lemma for pjhth 21802. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1
pjhth.2
pjhth.3
pjhth.4
pjhth.5
pjhth.6
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4
2 pjhth.3 . . . . 5
3 pjhth.1 . . . . . 6
43cheli 21642 . . . . 5
52, 4syl 17 . . . 4
6 hvsubcl 21427 . . . 4
71, 5, 6syl2anc 645 . . 3
8 pjhth.4 . . . 4
93cheli 21642 . . . 4
108, 9syl 17 . . 3
11 hicl 21489 . . 3
127, 10, 11syl2anc 645 . 2
1312abscld 11795 . . . 4
1413recnd 8741 . . 3
1513resqcld 11149 . . . . . . 7
1615renegcld 9090 . . . . . 6
17 hiidrcl 21504 . . . . . . . 8
1810, 17syl 17 . . . . . . 7
19 2re 9695 . . . . . . 7
20 readdcl 8700 . . . . . . 7
2118, 19, 20sylancl 646 . . . . . 6
22 0re 8718 . . . . . . . 8
2322a1i 12 . . . . . . 7
24 peano2re 8865 . . . . . . . 8
2518, 24syl 17 . . . . . . 7
26 hiidge0 21507 . . . . . . . . 9
2710, 26syl 17 . . . . . . . 8
2818ltp1d 9567 . . . . . . . 8
2923, 18, 25, 27, 28lelttrd 8854 . . . . . . 7
3025ltp1d 9567 . . . . . . . 8
3118recnd 8741 . . . . . . . . . 10
32 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . 11
33 addass 8704 . . . . . . . . . . 11
3432, 32, 33mp3an23 1274 . . . . . . . . . 10
3531, 34syl 17 . . . . . . . . 9
36 df-2 9684 . . . . . . . . . 10
3736oveq2i 5721 . . . . . . . . 9
3835, 37syl6reqr 2304 . . . . . . . 8
3930, 38breqtrrd 3946 . . . . . . 7
4023, 25, 21, 29, 39lttrd 8857 . . . . . 6
413chshii 21637 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
43 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4425recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4518, 27ge0p1rpd 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645rpne0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4712, 44, 46divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4843, 47syl5eqel 2337 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 shmulcl 21627 . . . . . . . . . . . . . . 15
5042, 48, 8, 49syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14
51 shaddcl 21626 . . . . . . . . . . . . . 14
5242, 2, 50, 51syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
53 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13
54 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . 14
5756rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . 13
5852, 53, 57sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
593cheli 21642 . . . . . . . . . . . . . . 15
6050, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
61 hvsubass 21453 . . . . . . . . . . . . . 14
621, 5, 60, 61syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
6362fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . 12
6458, 63breqtrrd 3946 . . . . . . . . . . 11
65 normcl 21534 . . . . . . . . . . . . 13
667, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12
67 hvsubcl 21427 . . . . . . . . . . . . . 14
687, 60, 67syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13
69 normcl 21534 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12
71 normge0 21535 . . . . . . . . . . . . 13
727, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7323, 66, 70, 72, 64letrd 8853 . . . . . . . . . . . 12
7466, 70, 72, 73le2sqd 11158 . . . . . . . . . . 11
7564, 74mpbid 203 . . . . . . . . . 10
7670resqcld 11149 . . . . . . . . . . 11
7766resqcld 11149 . . . . . . . . . . 11
7876, 77subge0d 9242 . . . . . . . . . 10
7975, 78mpbird 225 . . . . . . . . 9
80 2z 9933 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 rpexpcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8245, 80, 81sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
8315, 82rerpdivcld 10296 . . . . . . . . . . . . . 14
8483, 21remulcld 8743 . . . . . . . . . . . . 13
8584recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12
8685negcld 9024 . . . . . . . . . . 11
87 hicl 21489 . . . . . . . . . . . 12
887, 7, 87syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11
8986, 88pncand 9038 . . . . . . . . . 10
90 normsq 21543 . . . . . . . . . . . . . 14
9168, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
92 his2sub 21501 . . . . . . . . . . . . . 14
937, 60, 68, 92syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
94 his2sub2 21502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
957, 7, 60, 94syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14
97 hicl 21489 . . . . . . . . . . . . . . . 16
987, 60, 97syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 his2sub2 21502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10060, 7, 60, 99syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 hicl 21489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10260, 7, 101syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 hicl 21489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10460, 60, 103syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105102, 104subcld 9037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106100, 105eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15
10788, 98, 106subsub4d 9068 . . . . . . . . . . . . . 14
10883recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10932a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110108, 44, 109adddid 8739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11138oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112 his5 21495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11348, 7, 10, 112syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11448cjcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114, 12mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11612cjcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11712, 116, 44, 46divassd 9451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11812absvalsqd 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12043fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12112, 44, 46cjdivd 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12225cjred 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
123122oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
124121, 123eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125120, 124syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126125oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127117, 119, 1263eqtr4rd 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128113, 115, 1273eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12915recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130129, 44mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13144sqvald 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132130, 131oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133129, 44, 44, 46, 46divcan5d 9442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134132, 133eqtr2d 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13525resqcld 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136135recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13782rpne0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138129, 44, 136, 137div23d 9453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139128, 134, 1383eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14083, 25remulcld 8743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141139, 140eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142 hire 21503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1437, 60, 142syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144141, 143mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145144, 139eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146 his35 21497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14748, 48, 10, 10, 146syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14843fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14912, 44, 46absdivd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15045rpge0d 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
15125, 150absidd 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
152151oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
153149, 152eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
154148, 153syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
155154oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15648absvalsqd 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15714, 44, 46sqdivd 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158155, 156, 1573eqtr3d 2293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
159158oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160147, 159eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
161145, 160oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162 pncan2 8938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16331, 32, 162sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
164163oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165108, 44, 31subdid 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166164, 165eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167161, 100, 1663eqtr4d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168139, 167oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169110, 111, 1683eqtr4rd 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
170169oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14
17196, 107, 1703eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . 13
17291, 93, 1713eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . 12
17388, 85negsubd 9043 . . . . . . . . . . . 12
17488, 86addcomd 8894 . . . . . . . . . . . 12
175172, 173, 1743eqtr2d 2291 . . . . . . . . . . 11
176 normsq 21543 . . . . . . . . . . . 12
1777, 176syl 17 . . . . . . . . . . 11
178175, 177oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
17921renegcld 9090 . . . . . . . . . . . . 13
180179recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12
181129, 180, 136, 137div23d 9453 . . . . . . . . . . 11
18221recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12
183108, 182mulneg2d 9113 . . . . . . . . . . 11
184181, 183eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10
18589, 178, 1843eqtr4rd 2296 . . . . . . . . 9
18679, 185breqtrrd 3946 . . . . . . . 8
18715, 179remulcld 8743 . . . . . . . . 9
188187, 82ge0divd 10303 . . . . . . . 8
189186, 188mpbird 225 . . . . . . 7
190 mulneg12 9098 . . . . . . . 8
191129, 182, 190syl2anc 645 . . . . . . 7
192189, 191breqtrrd 3946 . . . . . 6
193 prodge02 9484 . . . . . 6
19416, 21, 40, 192, 193syl22anc 1188 . . . . 5
19515le0neg1d 9224 . . . . 5
196194, 195mpbird 225 . . . 4
19713sqge0d 11150 . . . 4
198 letri3 8787 . . . . 5
19915, 22, 198sylancl 646 . . . 4
200196, 197, 199mpbir2and 893 . . 3
20114, 200sqeq0d 11122 . 2
20212, 201abs00d 11805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917  cneg 8918   cdiv 9303  c2 9675  cz 9903  crp 10233  cexp 10982  ccj 11458  cabs 11596  chil 21329   cva 21330   csm 21331   csp 21332  cno 21333   cmv 21335  csh 21338  cch 21339 This theorem is referenced by:  pjhthlem2  21801 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hfvmul 21415  ax-hvdistr1 21418  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-hnorm 21378  df-hvsub 21381  df-sh 21616  df-ch 21631
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