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Theorem php 7250
 Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of lemmas phplem1 7245 through phplem4 7248, nneneq 7249, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php

Proof of Theorem php
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3616 . . . . . . . 8
2 sspsstr 3412 . . . . . . . 8
31, 2mpan 652 . . . . . . 7
4 0pss 3625 . . . . . . . 8
5 df-ne 2569 . . . . . . . 8
64, 5bitri 241 . . . . . . 7
73, 6sylib 189 . . . . . 6
8 nn0suc 4828 . . . . . . 7
98orcanai 880 . . . . . 6
107, 9sylan2 461 . . . . 5
11 pssnel 3653 . . . . . . . . . 10
12 pssss 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15 disj3 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1614, 15bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1913, 18syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2120sucex 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2321, 22ssexi 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2612, 19, 25syl56 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2920, 28phplem3 7247 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029ensymd 7117 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 domentr 7125 . . . . . . . . . . . . . . 15
3227, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
3332exp43 596 . . . . . . . . . . . . 13
3433com4r 82 . . . . . . . . . . . 12
3534imp 419 . . . . . . . . . . 11
3635exlimiv 1641 . . . . . . . . . 10
3711, 36mpcom 34 . . . . . . . . 9
38 endomtr 7124 . . . . . . . . . . . 12
39 sssucid 4618 . . . . . . . . . . . . 13
40 ssdomg 7112 . . . . . . . . . . . . 13
4121, 39, 40mp2 9 . . . . . . . . . . . 12
42 sbth 7186 . . . . . . . . . . . 12
4338, 41, 42sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
4443expcom 425 . . . . . . . . . 10
45 peano2b 4820 . . . . . . . . . . . . 13
46 nnord 4812 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12
4820sucid 4620 . . . . . . . . . . . 12
49 nordeq 4560 . . . . . . . . . . . 12
5047, 48, 49sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
51 nneneq 7249 . . . . . . . . . . . . . 14
5245, 51sylanb 459 . . . . . . . . . . . . 13
5352anidms 627 . . . . . . . . . . . 12
5453necon3bbid 2601 . . . . . . . . . . 11
5550, 54mpbird 224 . . . . . . . . . 10
5644, 55nsyli 135 . . . . . . . . 9
5737, 56syli 35 . . . . . . . 8
5857com12 29 . . . . . . 7
59 psseq2 3395 . . . . . . . 8
60 breq1 4175 . . . . . . . . 9
6160notbid 286 . . . . . . . 8
6259, 61imbi12d 312 . . . . . . 7
6358, 62syl5ibrcom 214 . . . . . 6
6463rexlimiv 2784 . . . . 5
6510, 64syl 16 . . . 4
6665ex 424 . . 3
6766pm2.43d 46 . 2
6867imp 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wrex 2667  cvv 2916   cdif 3277   cin 3279   wss 3280   wpss 3281  c0 3588  csn 3774   class class class wbr 4172   word 4540   csuc 4543  com 4804   cen 7065   cdom 7066 This theorem is referenced by:  php2  7251  php3  7252 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070
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