Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfect Unicode version

Theorem perfect 20302
 Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer is a perfect number (that is, its divisor sum is ) if and only if it is of the form , where is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that is also prime.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
perfect
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem perfect
StepHypRef Expression
1 simplr 734 . . . . . . 7
2 2prm 12648 . . . . . . . 8
3 simpll 733 . . . . . . . 8
4 pcelnn 12796 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylancr 647 . . . . . . 7
61, 5mpbird 225 . . . . . 6
76nnzd 9995 . . . . 5
87peano2zd 9999 . . . 4
9 pcdvds 12790 . . . . . . . . 9
102, 3, 9sylancr 647 . . . . . . . 8
11 2nn 9756 . . . . . . . . . 10
126nnnn0d 9897 . . . . . . . . . 10
13 nnexpcl 10994 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13sylancr 647 . . . . . . . . 9
15 nndivdivides 12411 . . . . . . . . 9
163, 14, 15syl2anc 645 . . . . . . . 8
1710, 16mpbid 203 . . . . . . 7
18 pcndvds2 12794 . . . . . . . 8
192, 3, 18sylancr 647 . . . . . . 7
20 simpr 449 . . . . . . . 8
21 nncn 9634 . . . . . . . . . . 11
2221ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10
2314nncnd 9642 . . . . . . . . . 10
2414nnne0d 9670 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24divcan2d 9418 . . . . . . . . 9
2625oveq2d 5726 . . . . . . . 8
2725oveq2d 5726 . . . . . . . 8
2820, 26, 273eqtr4d 2295 . . . . . . 7
296, 17, 19, 28perfectlem2 20301 . . . . . 6
3029simprd 451 . . . . 5
3129simpld 447 . . . . 5
3230, 31eqeltrrd 2328 . . . 4
336nncnd 9642 . . . . . . . . 9
34 ax-1cn 8675 . . . . . . . . 9
35 pncan 8937 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35sylancl 646 . . . . . . . 8
3736eqcomd 2258 . . . . . . 7
3837oveq2d 5726 . . . . . 6
3938, 30oveq12d 5728 . . . . 5
4025, 39eqtr3d 2287 . . . 4
41 oveq2 5718 . . . . . . . 8
4241oveq1d 5725 . . . . . . 7
4342eleq1d 2319 . . . . . 6
44 oveq1 5717 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 5726 . . . . . . . 8
4645, 42oveq12d 5728 . . . . . . 7
4746eqeq2d 2264 . . . . . 6
4843, 47anbi12d 694 . . . . 5
4948rcla4ev 2821 . . . 4
508, 32, 40, 49syl12anc 1185 . . 3
5150ex 425 . 2
52 perfect1 20299 . . . . . 6
53 2cn 9696 . . . . . . . . 9
54 mersenne 20298 . . . . . . . . . 10
55 prmnn 12636 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9
57 expm1t 11008 . . . . . . . . 9
5853, 56, 57sylancr 647 . . . . . . . 8
59 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . . . 11
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . 10
61 expcl 10999 . . . . . . . . . 10
6253, 60, 61sylancr 647 . . . . . . . . 9
63 mulcom 8703 . . . . . . . . 9
6462, 53, 63sylancl 646 . . . . . . . 8
6558, 64eqtrd 2285 . . . . . . 7
6665oveq1d 5725 . . . . . 6
6753a1i 12 . . . . . . 7
68 prmnn 12636 . . . . . . . . 9
6968adantl 454 . . . . . . . 8
7069nncnd 9642 . . . . . . 7
7167, 62, 70mulassd 8738 . . . . . 6
7252, 66, 713eqtrd 2289 . . . . 5
73 oveq2 5718 . . . . . 6
74 oveq2 5718 . . . . . 6
7573, 74eqeq12d 2267 . . . . 5
7672, 75syl5ibrcom 215 . . . 4
7776impr 605 . . 3
7877rexlimiva 2624 . 2
7951, 78impbid1 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710  cc 8615  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  cn0 9844  cz 9903  cexp 10982   cdivides 12405  cprime 12632   cpc 12763   csgm 20165 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-sgm 20171
 Copyright terms: Public domain W3C validator