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Theorem peano5 4827
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction hypothesis, is derived from this theorem as theorem findes 4834. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3430 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  y  e.  A )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
3 eldifi 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  y  e.  om )
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  e.  om )
5 elndif 3431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  (/)  e.  ( om  \  A ) )
6 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  <->  (/)  e.  ( om 
\  A ) ) )
76biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( y  =  (/)  ->  (/)  e.  ( om  \  A ) ) )
87necon3bd 2604 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( om  \  A
)  ->  y  =/=  (/) ) )
95, 8mpan9 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  =/=  (/) )
10 nnsuc 4821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1211adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
14 nfra1 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)
15 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
1614, 15nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e. 
om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  /\  (
y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )
17 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
18 rsp 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
19 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
2019sucid 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
suc  x
21 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  suc  x
) )
2220, 21mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  ->  x  e.  y )
23 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
24 peano2b 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  om  <->  suc  x  e. 
om )
2523, 24syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  x  e.  om ) )
26 minel 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  -.  x  e.  ( om  \  A ) )
27 neldif 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  om  /\  -.  x  e.  ( om  \  A ) )  ->  x  e.  A
)
2826, 27sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  A )
2928exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
3025, 29syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) ) )
3122, 30mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
323, 31syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  ( om  \  A )  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) )
3332imp3a 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  A
) )
34 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  A  -> 
( y  =  suc  x  ->  y  e.  A
) )
3534com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( suc  x  e.  A  ->  y  e.  A
) )
3633, 35imim12d 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A
) ) )
3736com13 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3818, 37sylan9 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  om  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3916, 17, 38rexlimd 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4039exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) ) )
4241imp41 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4313, 42mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A )
442, 43mtand 641 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4544nrexdv 2769 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  -.  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
46 ordom 4813 . . . . 5  |-  Ord  om
47 difss 3434 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
48 tz7.5 4562 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  ( om  \  A )  C_  om 
/\  ( om  \  A
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4946, 47, 48mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( ( om  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
5049necon1bi 2610 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
5145, 50syl 16 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
52 ssdif0 3646 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  \  A
)  =  (/) )
5351, 52sylibr 204 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   Ord word 4540   suc csuc 4543   omcom 4804
This theorem is referenced by:  find  4829  finds  4830  finds2  4832  omex  7554  dfom3  7558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805
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