MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Unicode version

Theorem peano2 4824
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 4820 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 187 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   suc csuc 4543   omcom 4804
This theorem is referenced by:  onnseq  6565  seqomlem1  6666  seqomlem4  6669  onasuc  6731  onmsuc  6732  onesuc  6733  nnacl  6813  nnecl  6815  nnacom  6819  nnmsucr  6827  1onn  6841  2onn  6842  3onn  6843  4onn  6844  nnneo  6853  nneob  6854  omopthlem1  6857  onomeneq  7255  dif1enOLD  7299  dif1en  7300  findcard  7306  findcard2  7307  unbnn2  7323  dffi3  7394  wofib  7470  axinf2  7551  dfom3  7558  noinfep  7570  noinfepOLD  7571  cantnflt  7583  trcl  7620  cardsucnn  7828  dif1card  7848  fseqdom  7863  alephfp  7945  ackbij1lem16  8071  ackbij2lem2  8076  ackbij2lem3  8077  ackbij2  8079  sornom  8113  infpssrlem4  8142  fin23lem26  8161  fin23lem20  8173  fin23lem38  8185  fin23lem39  8186  isf32lem2  8190  isf32lem3  8191  isf34lem7  8215  isf34lem6  8216  fin1a2lem6  8241  fin1a2lem9  8244  fin1a2lem12  8247  domtriomlem  8278  axdc2lem  8284  axdc3lem  8286  axdc3lem2  8287  axdc3lem4  8289  axdc4lem  8291  axdclem2  8356  peano2nn  9968  om2uzrani  11247  uzrdgsuci  11255  fzennn  11262  axdc4uzlem  11276  trpredtr  25447  elhf2  26020  0hf  26022  hfsn  26024  hfpw  26030  neibastop2lem  26279  bnj970  29024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805
  Copyright terms: Public domain W3C validator