MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Unicode version

Theorem peano2 4676
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 4672 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 186 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   suc csuc 4394   omcom 4656
This theorem is referenced by:  onnseq  6361  seqomlem1  6462  seqomlem4  6465  onasuc  6527  onmsuc  6528  onesuc  6529  nnacl  6609  nnecl  6611  nnacom  6615  nnmsucr  6623  1onn  6637  2onn  6638  3onn  6639  4onn  6640  nnneo  6649  nneob  6650  omopthlem1  6653  onomeneq  7050  dif1enOLD  7090  dif1en  7091  findcard  7097  findcard2  7098  unbnn2  7114  dffi3  7184  wofib  7260  axinf2  7341  dfom3  7348  noinfep  7360  noinfepOLD  7361  cantnflt  7373  trcl  7410  cardsucnn  7618  dif1card  7638  fseqdom  7653  alephfp  7735  ackbij1lem16  7861  ackbij2lem2  7866  ackbij2lem3  7867  ackbij2  7869  sornom  7903  infpssrlem4  7932  fin23lem26  7951  fin23lem20  7963  fin23lem38  7975  fin23lem39  7976  isf32lem2  7980  isf32lem3  7981  isf34lem7  8005  isf34lem6  8006  fin1a2lem6  8031  fin1a2lem9  8034  fin1a2lem12  8037  domtriomlem  8068  axdc2lem  8074  axdc3lem  8076  axdc3lem2  8077  axdc3lem4  8079  axdc4lem  8081  axdclem2  8147  peano2nn  9758  om2uzrani  11015  uzrdgsuci  11023  fzennn  11030  axdc4uzlem  11044  trpredtr  24233  elhf2  24805  0hf  24807  hfsn  24809  hfpw  24815  neibastop2lem  26309  bnj970  28979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator