MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Unicode version

Theorem peano2 4613
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 4609 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 188 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   suc csuc 4331   omcom 4593
This theorem is referenced by:  onnseq  6294  seqomlem1  6395  seqomlem4  6398  onasuc  6460  onmsuc  6461  onesuc  6462  nnacl  6542  nnecl  6544  nnacom  6548  nnmsucr  6556  1onn  6570  2onn  6571  3onn  6572  4onn  6573  nnneo  6582  nneob  6583  omopthlem1  6586  onomeneq  6983  dif1enOLD  7023  dif1en  7024  findcard  7030  findcard2  7031  unbnn2  7047  dffi3  7117  wofib  7193  axinf2  7274  dfom3  7281  noinfep  7293  noinfepOLD  7294  cantnflt  7306  trcl  7343  cardsucnn  7551  dif1card  7571  fseqdom  7586  alephfp  7668  ackbij1lem16  7794  ackbij2lem2  7799  ackbij2lem3  7800  ackbij2  7802  sornom  7836  infpssrlem4  7865  fin23lem26  7884  fin23lem20  7896  fin23lem38  7908  fin23lem39  7909  isf32lem2  7913  isf32lem3  7914  isf34lem7  7938  isf34lem6  7939  fin1a2lem6  7964  fin1a2lem9  7967  fin1a2lem12  7970  domtriomlem  8001  axdc2lem  8007  axdc3lem  8009  axdc3lem2  8010  axdc3lem4  8012  axdc4lem  8014  axdclem2  8080  peano2nn  9691  om2uzrani  10946  uzrdgsuci  10954  fzennn  10961  axdc4uzlem  10975  trpredtr  23567  elhf2  24145  0hf  24147  hfsn  24149  hfpw  24155  neibastop2lem  25641  bnj970  27991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594
  Copyright terms: Public domain W3C validator