MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Unicode version

Theorem peano2 4692
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 4688 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 186 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   suc csuc 4410   omcom 4672
This theorem is referenced by:  onnseq  6377  seqomlem1  6478  seqomlem4  6481  onasuc  6543  onmsuc  6544  onesuc  6545  nnacl  6625  nnecl  6627  nnacom  6631  nnmsucr  6639  1onn  6653  2onn  6654  3onn  6655  4onn  6656  nnneo  6665  nneob  6666  omopthlem1  6669  onomeneq  7066  dif1enOLD  7106  dif1en  7107  findcard  7113  findcard2  7114  unbnn2  7130  dffi3  7200  wofib  7276  axinf2  7357  dfom3  7364  noinfep  7376  noinfepOLD  7377  cantnflt  7389  trcl  7426  cardsucnn  7634  dif1card  7654  fseqdom  7669  alephfp  7751  ackbij1lem16  7877  ackbij2lem2  7882  ackbij2lem3  7883  ackbij2  7885  sornom  7919  infpssrlem4  7948  fin23lem26  7967  fin23lem20  7979  fin23lem38  7991  fin23lem39  7992  isf32lem2  7996  isf32lem3  7997  isf34lem7  8021  isf34lem6  8022  fin1a2lem6  8047  fin1a2lem9  8050  fin1a2lem12  8053  domtriomlem  8084  axdc2lem  8090  axdc3lem  8092  axdc3lem2  8093  axdc3lem4  8095  axdc4lem  8097  axdclem2  8163  peano2nn  9774  om2uzrani  11031  uzrdgsuci  11039  fzennn  11046  axdc4uzlem  11060  trpredtr  24303  elhf2  24876  0hf  24878  hfsn  24880  hfpw  24886  neibastop2lem  26411  bnj970  29294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator