MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Unicode version

Theorem peano2 4675
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 4671 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 188 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1685   suc csuc 4393   omcom 4655
This theorem is referenced by:  onnseq  6356  seqomlem1  6457  seqomlem4  6460  onasuc  6522  onmsuc  6523  onesuc  6524  nnacl  6604  nnecl  6606  nnacom  6610  nnmsucr  6618  1onn  6632  2onn  6633  3onn  6634  4onn  6635  nnneo  6644  nneob  6645  omopthlem1  6648  onomeneq  7045  dif1enOLD  7085  dif1en  7086  findcard  7092  findcard2  7093  unbnn2  7109  dffi3  7179  wofib  7255  axinf2  7336  dfom3  7343  noinfep  7355  noinfepOLD  7356  cantnflt  7368  trcl  7405  cardsucnn  7613  dif1card  7633  fseqdom  7648  alephfp  7730  ackbij1lem16  7856  ackbij2lem2  7861  ackbij2lem3  7862  ackbij2  7864  sornom  7898  infpssrlem4  7927  fin23lem26  7946  fin23lem20  7958  fin23lem38  7970  fin23lem39  7971  isf32lem2  7975  isf32lem3  7976  isf34lem7  8000  isf34lem6  8001  fin1a2lem6  8026  fin1a2lem9  8029  fin1a2lem12  8032  domtriomlem  8063  axdc2lem  8069  axdc3lem  8071  axdc3lem2  8072  axdc3lem4  8074  axdc4lem  8076  axdclem2  8142  peano2nn  9753  om2uzrani  11009  uzrdgsuci  11017  fzennn  11024  axdc4uzlem  11038  trpredtr  23634  elhf2  24212  0hf  24214  hfsn  24216  hfpw  24222  neibastop2lem  25708  bnj970  28246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656
  Copyright terms: Public domain W3C validator