MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4675
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4675 through peano5 4679 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4671 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4454 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   (/)c0 3455   Lim wlim 4393   omcom 4656
This theorem is referenced by:  onnseq  6361  rdg0  6434  fr0g  6448  seqomlem3  6464  oa1suc  6530  om1  6540  oe1  6542  nna0r  6607  nnm0r  6608  nnmcl  6610  nnecl  6611  nnmsucr  6623  nnaword1  6627  nnaordex  6636  1onn  6637  oaabs2  6643  nnm1  6646  nneob  6650  omopth  6656  snfi  6941  0sdom1dom  7060  0fin  7087  findcard2  7098  nnunifi  7108  unblem2  7110  infn0  7119  unfilem3  7123  dffi3  7184  inf0  7322  infeq5i  7337  axinf2  7341  dfom3  7348  infdifsn  7357  noinfep  7360  noinfepOLD  7361  cantnflt  7373  cnfcomlem  7402  cnfcom  7403  cnfcom2lem  7404  cnfcom3lem  7406  cnfcom3  7407  trcl  7410  rankdmr1  7473  rankeq0b  7532  cardlim  7605  infxpenc  7645  infxpenc2  7649  alephgeom  7709  alephfplem4  7734  ackbij1lem13  7858  ackbij1  7864  ackbij1b  7865  ominf4  7938  fin23lem16  7961  fin23lem31  7969  fin23lem40  7977  isf32lem9  7987  isf34lem7  8005  isf34lem6  8006  fin1a2lem6  8031  fin1a2lem7  8032  fin1a2lem11  8036  axdc3lem2  8077  axdc3lem4  8079  axdc4lem  8081  axcclem  8083  axdclem2  8147  pwfseqlem5  8285  omina  8313  wunex3  8363  1lt2pi  8529  1nn  9757  om2uzrani  11015  uzrdg0i  11022  fzennn  11030  axdc4uzlem  11044  hash1  11370  ltbwe  16214  2ndcdisj2  17183  snct  23339  trpredpred  24231  0hf  24807  neibastop2lem  26309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator