MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4691
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4691 through peano5 4695 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4687 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4470 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   (/)c0 3468   Lim wlim 4409   omcom 4672
This theorem is referenced by:  onnseq  6377  rdg0  6450  fr0g  6464  seqomlem3  6480  oa1suc  6546  om1  6556  oe1  6558  nna0r  6623  nnm0r  6624  nnmcl  6626  nnecl  6627  nnmsucr  6639  nnaword1  6643  nnaordex  6652  1onn  6653  oaabs2  6659  nnm1  6662  nneob  6666  omopth  6672  snfi  6957  0sdom1dom  7076  0fin  7103  findcard2  7114  nnunifi  7124  unblem2  7126  infn0  7135  unfilem3  7139  dffi3  7200  inf0  7338  infeq5i  7353  axinf2  7357  dfom3  7364  infdifsn  7373  noinfep  7376  noinfepOLD  7377  cantnflt  7389  cnfcomlem  7418  cnfcom  7419  cnfcom2lem  7420  cnfcom3lem  7422  cnfcom3  7423  trcl  7426  rankdmr1  7489  rankeq0b  7548  cardlim  7621  infxpenc  7661  infxpenc2  7665  alephgeom  7725  alephfplem4  7750  ackbij1lem13  7874  ackbij1  7880  ackbij1b  7881  ominf4  7954  fin23lem16  7977  fin23lem31  7985  fin23lem40  7993  isf32lem9  8003  isf34lem7  8021  isf34lem6  8022  fin1a2lem6  8047  fin1a2lem7  8048  fin1a2lem11  8052  axdc3lem2  8093  axdc3lem4  8095  axdc4lem  8097  axcclem  8099  axdclem2  8163  pwfseqlem5  8301  omina  8329  wunex3  8379  1lt2pi  8545  1nn  9773  om2uzrani  11031  uzrdg0i  11038  fzennn  11046  axdc4uzlem  11060  hash1  11386  ltbwe  16230  2ndcdisj2  17199  snct  23354  trpredpred  24301  0hf  24878  neibastop2lem  26411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator