Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4823
 Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4823 through peano5 4827 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4819 . 2
2 0ellim 4603 . 2
31, 2ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wcel 1721  c0 3588   wlim 4542  com 4804 This theorem is referenced by:  onnseq  6565  rdg0  6638  fr0g  6652  seqomlem3  6668  oa1suc  6734  om1  6744  oe1  6746  nna0r  6811  nnm0r  6812  nnmcl  6814  nnecl  6815  nnmsucr  6827  nnaword1  6831  nnaordex  6840  1onn  6841  oaabs2  6847  nnm1  6850  nneob  6854  omopth  6860  snfi  7146  0sdom1dom  7265  0fin  7295  findcard2  7307  nnunifi  7317  unblem2  7319  infn0  7328  unfilem3  7332  dffi3  7394  inf0  7532  infeq5i  7547  axinf2  7551  dfom3  7558  infdifsn  7567  noinfep  7570  noinfepOLD  7571  cantnflt  7583  cnfcomlem  7612  cnfcom  7613  cnfcom2lem  7614  cnfcom3lem  7616  cnfcom3  7617  trcl  7620  rankdmr1  7683  rankeq0b  7742  cardlim  7815  infxpenc  7855  infxpenc2  7859  alephgeom  7919  alephfplem4  7944  ackbij1lem13  8068  ackbij1  8074  ackbij1b  8075  ominf4  8148  fin23lem16  8171  fin23lem31  8179  fin23lem40  8187  isf32lem9  8197  isf34lem7  8215  isf34lem6  8216  fin1a2lem6  8241  fin1a2lem7  8242  fin1a2lem11  8246  axdc3lem2  8287  axdc3lem4  8289  axdc4lem  8291  axcclem  8293  axdclem2  8356  pwfseqlem5  8494  omina  8522  wunex3  8572  1lt2pi  8738  1nn  9967  om2uzrani  11247  uzrdg0i  11254  fzennn  11262  axdc4uzlem  11276  hash1  11628  ltbwe  16488  2ndcdisj2  17473  snct  24056  trpredpred  25445  0hf  26022  neibastop2lem  26279 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805
 Copyright terms: Public domain W3C validator