Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclcmpatN Unicode version

Theorem pclcmpatN 28779
Description: The set of projective subspaces is compactly atomistic: if an atom is in the projective subspace closure of a set of atoms, it also belongs to the projective subspace closure of a finite subset of that set. Analogous to Lemma 3.3.10 of [PtakPulmannova] p. 74. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfin.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclcmpatN  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A  /\  P  e.  ( U `  X
) )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, U    y, K    y, X    y, P

Proof of Theorem pclcmpatN
StepHypRef Expression
1 pclfin.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfin.c . . . . . 6  |-  U  =  ( PCl `  K
)
31, 2pclfinN 28778 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
43eleq2d 2320 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  <->  P  e.  U_ y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) ( U `  y ) ) )
5 eliun 3807 . . . 4  |-  ( P  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y
) )
64, 5syl6bb 254 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y
) ) )
7 elin 3266 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( y  e.  Fin  /\  y  e. 
~P X ) )
8 elpwi 3538 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
98anim2i 555 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( y  e.  Fin  /\  y  C_  X ) )
107, 9sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  X ) )
1110anim1i 554 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  P  e.  ( U `  y ) )  -> 
( ( y  e. 
Fin  /\  y  C_  X )  /\  P  e.  ( U `  y
) ) )
12 anass 633 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  X )  /\  P  e.  ( U `  y )
)  <->  ( y  e. 
Fin  /\  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y
) ) ) )
1311, 12sylib 190 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  P  e.  ( U `  y ) )  -> 
( y  e.  Fin  /\  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y )
) ) )
1413reximi2 2611 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
156, 14syl6bi 221 . 2  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) ) )
16153impia 1153 1  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A  /\  P  e.  ( U `  X
) )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    i^i cin 3077    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   U_ciun 3803   ` cfv 4592   Fincfn 6749   Atomscatm 28142   AtLatcal 28143   PClcpclN 28765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-fin 6753  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-join 13954  df-lat 13996  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-psubsp 28381  df-pclN 28766
  Copyright terms: Public domain W3C validator