MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovres Unicode version

Theorem ovres 5839
Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ovres  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4628 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
) )
2 fvres 5394 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  X.  D
)  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( F  |`  ( C  X.  D
) ) `  <. A ,  B >. )  =  ( F `  <. A ,  B >. ) )
4 df-ov 5713 . 2  |-  ( A ( F  |`  ( C  X.  D ) ) B )  =  ( ( F  |`  ( C  X.  D ) ) `
 <. A ,  B >. )
5 df-ov 5713 . 2  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
63, 4, 53eqtr4g 2310 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A ( F  |`  ( C  X.  D
) ) B )  =  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3547    X. cxp 4578    |` cres 4582   ` cfv 4592  (class class class)co 5710
This theorem is referenced by:  ovresd  5840  oprssov  5841  ofmresval  5969  cantnfval2  7254  mulnzcnopr  9294  prdsdsval3  13258  frmdplusg  14311  frmdadd  14312  gaid  14588  gass  14590  gasubg  14591  mplsubrglem  16015  tsmsxplem1  17667  tsmsxplem2  17668  xmetres2  17757  prdsdsf  17763  ressprdsds  17767  xpsdsval  17777  blres  17809  xmetresbl  17815  mscl  17839  xmscl  17840  xmsge0  17841  xmseq0  17842  nmfval2  17945  nmval2  17946  isngp3  17952  ngpds  17957  xrsdsre  18148  divcn  18204  cncfmet  18244  cfilresi  18553  cfilres  18554  dvdsmulf1o  20266  subgoov  20802  issubgoi  20807  ablomul  20852  mulid  20853  ghgrplem2  20864  sspgval  21135  sspsval  21137  sspmlem  21138  hhssabloi  21669  hhssnv  21671  hhssmetdval  21685  cvmlift2lem9  23013  nZdef  24346  equivbnd2  25682  ismtyres  25698  iccbnd  25730  exidreslem  25733  divrngcl  25754  isdrngo2  25755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fv 4608  df-ov 5713
  Copyright terms: Public domain W3C validator