Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  otiunsndisjX Unicode version

Theorem otiunsndisjX 27955
Description: The union of singletons consisting of ordered triples which have distinct first and third components are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
otiunsndisjX  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } )
Distinct variable groups:    B, a,
c    V, a, c    W, a, c    X, a, c

Proof of Theorem otiunsndisjX
Dummy variables  d 
e  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 375 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
21a1d 23 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
3 eliun 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  E. c  e.  W  s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } )
4 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  a  e.  V )
54adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
a  e.  V )
6 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  ->  B  e.  X )
7 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
c  e.  W )
8 otthg 27952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  V  /\  B  e.  X  /\  c  e.  W )  ->  ( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e ) ) )
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e ) ) )
10 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  =  d  /\  B  =  B  /\  c  =  e )  ->  a  =  d )
119, 10syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>.  ->  a  =  d ) )
1211con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  W  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  -> 
( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
1312ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  W  ->  (
( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  ( -.  a  =  d  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) ) )
1413com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c  e.  W  ->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) ) )
1514imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  W )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
)
18 elsn 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. } 
<->  s  =  <. a ,  B ,  c >.
)
19 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  (
s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  <.
a ,  B , 
c >.  =  <. d ,  B ,  e >.
) )
2019notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  <. a ,  B ,  c >.  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2118, 20sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.  <->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
)
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  ( -.  s  =  <. d ,  B ,  e
>. 
<->  -.  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e
>. ) )
2417, 23mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
25 elsn 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  s  =  <. d ,  B ,  e >.
)
2624, 25sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  /\  e  e.  W )  ->  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
2726ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  A. e  e.  W  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
28 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. e  e.  W  -.  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  -.  E. e  e.  W  s  e.  { <. d ,  B , 
e >. } )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  E. e  e.  W  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
30 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } 
<->  E. e  e.  W  s  e.  { <. d ,  B ,  e >. } )
3129, 30sylnibr 297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) ) )  /\  c  e.  W )  /\  s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
3231ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  c  e.  W )  ->  (
s  e.  { <. a ,  B ,  c
>. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
3332rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( E. c  e.  W  s  e.  {
<. a ,  B , 
c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
343, 33syl5bi 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( s  e. 
U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } ) )
3534imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  (
a  e.  V  /\  d  e.  V )
) )  /\  s  e.  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } )  ->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B , 
e >. } )
3635ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
37 oteq3 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  e  ->  <. d ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  e >. )
3837sneqd 3787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  e  ->  { <. d ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  e
>. } )
3938cbviunv 4090 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. }  =  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. }
4039eleq2i 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } 
<->  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
4140notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } 
<->  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B , 
e >. } )
4241ralbii 2690 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. }  <->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  -.  s  e.  U_ e  e.  W  { <. d ,  B ,  e >. } )
4336, 42sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
44 disj 3628 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) 
<-> 
A. s  e.  U_  c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  -.  s  e.  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
4543, 44sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) )
4645olcd 383 . . . . 5  |-  ( ( -.  a  =  d  /\  ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) ) )  ->  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B , 
c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) ) )
4746ex 424 . . . 4  |-  ( -.  a  =  d  -> 
( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) ) )
482, 47pm2.61i 158 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  ( a  e.  V  /\  d  e.  V
) )  ->  (
a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
4948ralrimivva 2758 . 2  |-  ( B  e.  X  ->  A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B , 
c >. } )  =  (/) ) )
50 oteq1 3953 . . . . 5  |-  ( a  =  d  ->  <. a ,  B ,  c >.  =  <. d ,  B ,  c >. )
5150sneqd 3787 . . . 4  |-  ( a  =  d  ->  { <. a ,  B ,  c
>. }  =  { <. d ,  B ,  c
>. } )
5251iuneq2d 4078 . . 3  |-  ( a  =  d  ->  U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  =  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )
5352disjor 4156 . 2  |-  (Disj  a  e.  V U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } 
<-> 
A. a  e.  V  A. d  e.  V  ( a  =  d  \/  ( U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. }  i^i  U_ c  e.  W  { <. d ,  B ,  c >. } )  =  (/) ) )
5449, 53sylibr 204 1  |-  ( B  e.  X  -> Disj  a  e.  V U_ c  e.  W  { <. a ,  B ,  c >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cotp 3778   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-ot 3784  df-iun 4055  df-disj 4143
  Copyright terms: Public domain W3C validator