MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4556
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
StepHypRef Expression
1 dftr2 4012 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om ) )
2 onelon 4310 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
32expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  On  ->  y  e.  On ) )
4 limord 4344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  z  ->  Ord  z )
5 ordtr 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  z  ->  Tr  z
)
6 trel 4017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  z ) )
87exp3a 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
98com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  ( Lim  z  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
109a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  x  ->  (
( Lim  z  ->  x  e.  z )  -> 
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1110alimdv 2017 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  x  ->  ( A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z )  ->  A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
123, 11anim12d 548 . . . . . 6  |-  ( y  e.  x  ->  (
( x  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  x  e.  z ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
A. z ( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) ) )
13 elom 4550 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  x  e.  z ) ) )
14 elom 4550 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  <->  ( y  e.  On  /\  A. z
( Lim  z  ->  y  e.  z ) ) )
1512, 13, 143imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( y  e.  x  ->  (
x  e.  om  ->  y  e.  om ) )
1615imp 420 . . . 4  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  om )  ->  y  e.  om )
1716ax-gen 1536 . . 3  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e. 
om )  ->  y  e.  om )
181, 17mpgbir 1544 . 2  |-  Tr  om
19 omsson 4551 . 2  |-  om  C_  On
20 ordon 4465 . 2  |-  Ord  On
21 trssord 4302 . 2  |-  ( ( Tr  om  /\  om  C_  On  /\  Ord  On )  ->  Ord  om )
2218, 19, 20, 21mp3an 1282 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621    C_ wss 3078   Tr wtr 4010   Ord word 4284   Oncon0 4285   Lim wlim 4286   omcom 4547
This theorem is referenced by:  elnn  4557  omon  4558  limom  4562  ssnlim  4565  peano5  4570  nnarcl  6500  nnawordex  6521  oaabslem  6527  oaabs2  6529  omabslem  6530  onomeneq  6935  ominf  6960  findcard3  6985  nnsdomg  7001  dffi3  7068  wofib  7144  alephgeom  7593  iscard3  7604  iunfictbso  7625  unctb  7715  ackbij2lem1  7729  ackbij1lem3  7732  ackbij1lem18  7747  ackbij2  7753  cflim2  7773  fin23lem26  7835  fin23lem23  7836  fin23lem27  7838  fin67  7905  alephexp1  8081  pwfseqlem3  8162  pwcdandom  8169  winainflem  8195  wunex2  8240  om2uzoi  10896  ltweuz  10902  fz1isolem  11276  1stcrestlem  17010  omsinds  23387  hfuni  23988  hfninf  23990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548
  Copyright terms: Public domain W3C validator