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Theorem oposlem 29446
Description: Lemma for orthoposet properties. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oposlem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oposlem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
oposlem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
oposlem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oposlem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oposlem.f  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
oposlem.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
oposlem  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
)

Proof of Theorem oposlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oposlem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 oposlem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 oposlem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
4 oposlem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 oposlem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6 oposlem.f . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
7 oposlem.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isopos 29443 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  <->  ( ( K  e.  Poset  /\  .0.  e.  B  /\  .1.  e.  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  /\  ( x  .\/  (  ._|_  `  x )
)  =  .1.  /\  ( x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  .0.  ) ) )
98simprbi 450 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
(  ._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x  /\  ( x  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y
)  .<_  (  ._|_  `  x
) ) )  /\  ( x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  ) )
10 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
1110eleq1d 2351 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  B  <->  (  ._|_  `  X
)  e.  B ) )
1210fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )
13 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
1412, 13eqeq12d 2299 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X ) )
15 breq1 4028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
1610breq2d 4037 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x )  <-> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
1715, 16imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) )  <->  ( X  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) ) )
1811, 14, 173anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  <-> 
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
1913, 10oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  ( X  .\/  (  ._|_  `  X ) ) )
2019eqeq1d 2293 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  <->  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1.  ) )
2113, 10oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) ) )
2221eqeq1d 2293 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  ./\  (  ._|_  `  x ) )  =  .0.  <->  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  )
)
2318, 20, 223anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( (  ._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  (
x  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x )
) )  /\  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  )  <->  ( ( ( 
._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
) )
24 breq2 4029 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<_  y  <->  X  .<_  Y ) )
25 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
2625breq1d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
2724, 26imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) )  <->  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) ) )
28273anbi3d 1258 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  <-> 
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
29283anbi1d 1256 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  y  ->  (  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )  <->  ( ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X )
)  =  .1.  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  ) ) )
3023, 29rspc2v 2892 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ( 
._|_  `  x )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  /\  ( x  .<_  y  -> 
(  ._|_  `  y )  .<_  (  ._|_  `  x ) ) )  /\  (
x  .\/  (  ._|_  `  x ) )  =  .1.  /\  ( x 
./\  (  ._|_  `  x
) )  =  .0.  )  ->  ( (
(  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X ) )  =  .1.  /\  ( X 
./\  (  ._|_  `  X
) )  =  .0.  ) ) )
319, 30mpan9 455 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X 
.<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X )
)  =  .1.  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X ) )  =  .0.  ) )
32313impb 1147 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X  /\  ( X  .<_  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )
) )  /\  ( X  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  .1. 
/\  ( X  ./\  (  ._|_  `  X )
)  =  .0.  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   occoc 13218   Posetcpo 14076   joincjn 14080   meetcmee 14081   0.cp0 14145   1.cp1 14146   OPcops 29435
This theorem is referenced by:  opoccl  29457  opococ  29458  oplecon3  29462  opexmid  29470  opnoncon  29471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-nul 4151
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-iota 5221  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oposet 29439
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