Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc0 Unicode version

Theorem opoc0 29686
Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
opoc1.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
opoc1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opoc0  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )

Proof of Theorem opoc0
StepHypRef Expression
1 opoc1.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2 opoc1.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
3 opoc1.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3opoc1 29685 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
65, 2op1cl 29668 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
75, 1op0cl 29667 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
85, 3opcon1b 29681 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  .1.  e.  ( Base `  K
)  /\  .0.  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
96, 7, 8mpd3an23 1281 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
(  ._|_  `  .1.  )  =  .0.  <->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
)
104, 9mpbid 202 1  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .0.  )  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   Basecbs 13424   occoc 13492   0.cp0 14421   1.cp1 14422   OPcops 29655
This theorem is referenced by:  1cvrjat  29957  doch0  31841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-lub 14386  df-glb 14387  df-p0 14423  df-p1 14424  df-oposet 29659
  Copyright terms: Public domain W3C validator