Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Unicode version

Theorem opltcon3b 29463
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 22196 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 opltcon3.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3oplecon3b 29459 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )
51, 2, 3oplecon3b 29459 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
653com23 1157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
76notbid 285 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  Y ( le `  K ) X  <->  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) )
84, 7anbi12d 691 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X ( le `  K ) Y  /\  -.  Y
( le `  K
) X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) ) )
9 opposet 29441 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  Poset )
10 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
111, 2, 10pltval3 14200 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
129, 11syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
1393ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
141, 3opoccl 29453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
15143adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
161, 3opoccl 29453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
17163adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
181, 2, 10pltval3 14200 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  Y )  .< 
(  ._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  X
)  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<  (  ._|_  `  X
)  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
208, 12, 193bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   Basecbs 13245   lecple 13312   occoc 13313   Posetcpo 14173   ltcplt 14174   OPcops 29431
This theorem is referenced by:  opltcon1b  29464  opltcon2b  29465  cvrcon3b  29536  1cvratex  29731  lhprelat3N  30298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-poset 14179  df-plt 14191  df-oposet 29435
  Copyright terms: Public domain W3C validator