Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Unicode version

Theorem opltcon3b 29467
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 22084 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opltcon3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
opltcon3.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opltcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2285 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 opltcon3.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
41, 2, 3oplecon3b 29463 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) (  ._|_  `  X
) ) )
51, 2, 3oplecon3b 29463 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
653com23 1157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y ( le
`  K ) X  <-> 
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) (  ._|_  `  Y
) ) )
76notbid 285 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( -.  Y ( le `  K ) X  <->  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) )
84, 7anbi12d 691 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X ( le `  K ) Y  /\  -.  Y
( le `  K
) X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  Y ) ) ) )
9 opposet 29445 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  Poset )
10 opltcon3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
111, 2, 10pltval3 14103 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
129, 11syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  K
) Y  /\  -.  Y ( le `  K ) X ) ) )
1393ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
141, 3opoccl 29457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
15143adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
161, 3opoccl 29457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
17163adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
181, 2, 10pltval3 14103 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  Y )  .< 
(  ._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  X
)  /\  -.  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<  (  ._|_  `  X
)  <->  ( (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  X )  /\  -.  (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  Y ) ) ) )
208, 12, 193bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257   Basecbs 13150   lecple 13217   occoc 13218   Posetcpo 14076   ltcplt 14077   OPcops 29435
This theorem is referenced by:  opltcon1b  29468  opltcon2b  29469  cvrcon3b  29540  1cvratex  29735  lhprelat3N  30302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fv 5265  df-ov 5863  df-poset 14082  df-plt 14094  df-oposet 29439
  Copyright terms: Public domain W3C validator